Um Arremessador de peso, de nível olímpico, é capaz de lançar o peso com uma velocidade inicial V0=15m/s de uma altura de 2,160 m. Que distância horizontal é coberta pelo peso se o ângulo de lançamento é
(a)45° e
(b) 42°?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um arremessador de peso olímpico que lança o peso com uma velocidade inicial de $ V_0 = 15 , m/s $ a partir de uma altura de $ h = 2,160 , m $. Queremos descobrir qual é a distância horizontal que o peso percorre quando o ângulo de lançamento é (a) 45° e (b) 42°. Vamos usar conceitos de cinemática e movimento de projéteis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento do peso. Quando o peso é lançado, ele tem uma componente horizontal ($ V_{0x} V0x V_{0y} V0y âç \theta $).
As fórmulas para essas componentes são:
theta
V0x = V0 cdot cos(theta)
Assim, precisamos calcular essas duas componentes para cada ângulo dado.

Passo 3

Depois de obter as componentes de velocidade, vamos calcular o tempo que o peso fica no ar. Como o peso é lançado de uma altura $ h $, precisamos considerar o movimento vertical. A equação para o deslocamento vertical é:
h
Onde $ g = 9,81 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade.
Vamos rearranjar essa equação para resolver o tempo $ t $.

Passo 4

Uma vez que temos o tempo $ t $ que o peso fica no ar, podemos calcular a distância horizontal ($ d $) percorrida usando:
t
Agora, vamos aplicar esses passos para cada ângulo fornecido.

Passo 5

Parte (a): Ângulo de 45°
Primeiro, calculamos as componentes de velocidade:
V0x = 15 cdot cos(45°) = 15 cdot raiz22 approx 10,61 , m/s
V0y = 15 cdot sin(45°) = 15 cdot raiz22 approx 10,61 , m/s
Agora, substituímos na equação do deslocamento vertical:
2,160 = 10,61 cdot t + 12 cdot 9,81 cdot t^2
Resolvendo essa equação quadrática para $ t $, encontramos o tempo de voo.

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática:
12 cdot 9,81 cdot t^2 + 10,61 cdot t - 2,160 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
t = -10,61 pm raiz(10,61)^2 + 4 cdot 9,812 cdot 2,1602 cdot 9,812
Calculando, obtemos $ t \approx 0,203 , s $ (desconsideramos a solução negativa).

Passo 7

Agora, calculamos a distância horizontal:
d = 10,61 cdot 0,203 approx 2,16 , m

Passo 8

Parte (b): Ângulo de 42°
Vamos repetir os mesmos passos com $ \theta = 42° $.
Calculando as componentes de velocidade:
theta = 42°
V0x = 15 cdot cos(42°) approx 15 cdot 0,7431 approx 11,15 , m/s

Passo 9

Substituindo na equação do deslocamento vertical:
2,160 = 10,04 cdot t + 12 cdot 9,81 cdot t^2
Resolvendo a equação quadrática:
12 cdot 9,81 cdot t^2 + 10,04 cdot t - 2,160 = 0
Usando Bhaskara:
t = -10,04 pm raiz(10,04)^2 + 4 cdot 9,812 cdot 2,1602 cdot 9,812
Calculando, obtemos $ t \approx 0,199 , s $.

Passo 10

Finalmente, a distância horizontal:
d = 11,15 cdot 0,199 approx 2,22 , m

Resposta

(a) A distância horizontal percorrida é aproximadamente 2,16 metros.
(b) A distância horizontal percorrida é aproximadamente 2,22 metros.

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