An article in International Journal of Electrical Power & Energy Systems [“Stochastic Optimal Load Flow Using a Combined Quasi-Newton and Conjugate Gradient Technique” (1989, Vol.11(2), pp. 85-93)] considered the problem of optimal power flow in electric power systems and included the effects of uncertain variables in the problem formulation. The method treats the system power demand as a normal random variable with 0 mean and unit variance.
What is the probability that the power demand is more than -1 and less than 1 ?

Passo 1

O enunciado diz que a demanda de potência é modelada por uma variável aleatória com distribuição normal de média zero e variância unitaria. Em símbolos, temos \,X \sim N(0,1)\,. A pergunta é: qual é a probabilidade de a demanda ser maior que -1 e menor que 1; isto é, calcular P(-1 < X < 1).

Passo 2

Vamos lembrar o que significa \,X \sim N(0,1)\,. Isso quer dizer que a função densidade de probabilidade (pdf) de X é
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}.
A média \,0\, significa que o pico da curva está em x=0. A variância \,1\, significa que a escala (a “largura”) da curva é tal que um desvio padrão vale 1. Não precisa decorar a integral; a ideia é que probabilidades são áreas sob essa curva.

Passo 3

A probabilidade pedida é a área da pdf entre -1 e 1. Em forma integral,
P(-1<X<1)=\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}\,dx.
Resolver essa integral em forma elementar não é prático; por isso usamos a função distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 4

Definimos a função distribuição acumulada (CDF) da normal padrão por
\Phi(a)=\int_{-\infty}^{a}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}\,dx.
Usando \Phi podemos escrever
P(-1<X<1)=\Phi(1)-\Phi(-1).

Passo 5

A densidade da normal padrão é simétrica em relação a 0. Da simetria segue que
\Phi(-a)=1-\Phi(a)\quad\text{para todo }a\ge0.
Aplicando com a=1 obtemos \Phi(-1)=1-\Phi(1). Substituindo em P(-1<X<1)
P(-1<X<1)=\Phi(1)-\bigl(1-\Phi(1)\bigr)=2\Phi(1)-1.

Passo 6

Agora usamos o valor tabelado (ou calculadora) para \Phi(1). O valor conhecido é \Phi(1)\approx 0{,}841344746. Então
P(-1<X<1)=2\cdot 0{,}841344746 - 1 = 0{,}682689492.
Em porcentagem, isso corresponde a aproximadamente 68{,}2689492\%, que normalmente arredondamos para 68{,}27\%. Isso é o famoso “regra empírica”: cerca de 68\% das observações em uma normal ficam dentro de \pm1 desvio padrão.

Resposta

\;0{,}682689492\approx0{,}6827 (aprox. 68{,}27\%)

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