An article in International Journal of Electrical Power & Energy Systems [“Stochastic Optimal Load Flow Using a Combined Quasi-Newton and Conjugate Gradient Technique” (1989, Vol.11(2), pp. 85-93)] considered the problem of optimal power flow in electric power systems and included the effects of uncertain variables in the problem formulation. The method treats the system power demand as a normal random variable with 0 mean and unit variance.
What is the probability that the power demand is more than -1 and less than 1 ?
What is the probability that the power demand is more than -1 and less than 1 ?
Passo 1
O enunciado diz que a demanda de potência é modelada por uma variável aleatória com distribuição normal de média zero e variância unitaria. Em símbolos, temos
. A pergunta é: qual é a probabilidade de a demanda ser maior que
e menor que
; isto é, calcular
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que a função densidade de probabilidade (pdf) de
é
A média
significa que o pico da curva está em
. A variância
significa que a escala (a “largura”) da curva é tal que um desvio padrão vale
. Não precisa decorar a integral; a ideia é que probabilidades são áreas sob essa curva.
Passo 3
A probabilidade pedida é a área da pdf entre
e
. Em forma integral,
Resolver essa integral em forma elementar não é prático; por isso usamos a função distribuição acumulada da normal padrão.
Passo 4
Definimos a função distribuição acumulada (CDF) da normal padrão por
Usando
podemos escrever
Passo 5
A densidade da normal padrão é simétrica em relação a
. Da simetria segue que
Aplicando com
obtemos
. Substituindo em
dá
Passo 6
Agora usamos o valor tabelado (ou calculadora) para
. O valor conhecido é
. Então
Em porcentagem, isso corresponde a aproximadamente
, que normalmente arredondamos para
. Isso é o famoso “regra empírica”: cerca de
das observações em uma normal ficam dentro de
desvio padrão.