The life of a semiconductor laser at a constant power is normally distributed with a mean of 7000 hours and a standard deviation of 600 hours.
(a) What is the probability that a laser fails before 5000 hours?
(b) What is the life in hours that 95 \% of the lasers exceed?
(c) If three lasers are used in a product and they are assumed to fail independently, what is the probability that all three are still operating after 7000 hours?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
Informações dadas:
  • A vida de um laser segue uma distribuição normal com média \mu=7000 horas e desvio padrão \sigma=600 horas.
  • Assumimos falhas independentes entre lasers quando perguntado sobre mais de um laser.
Perguntas:
(a) Qual a probabilidade de que um laser falhe antes de 5000 horas?
(b) Qual o tempo em horas tal que 95\% dos lasers o excedem? (ou seja, o 5\%-percentil inferior)
(c) Se três lasers são usados e falham independentemente, qual a probabilidade de que os três ainda estejam funcionando após 7000 horas?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas, passo a passo):
  • A distribuição normal: uma variável aleatória X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma. Escrevemos isso como X\sim N(\mu,\sigma^2). Aqui \mu é o valor médio (centro) e \sigma mede a dispersão das observações em torno da média.
  • Para trabalhar com qualquer normal é comum padronizar para a normal padrão (média 0, desvio 1). A transformação é:
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z tem distribuição normal padrão, Z\sim N(0,1). Essa transformação converte qualquer valor x de X num valor z que podemos olhar em tabelas da normal padrão.
  • Notação para a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão: \Phi(z)=P(Z\le z). Assim, para X qualquer:
P(X\le x)=\Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).
  • Simetria da normal padrão: \Phi(-z)=1-\Phi(z). Isso ajuda quando a tabela fornece apenas valores para z\ge 0.
Vou aplicar esses conceitos aos itens (a), (b) e (c).

Passo 3

Resolvendo (a): probabilidade de falhar antes de 5000 horas.
  1. Queremos P(X<5000) com X\sim N(7000,600^2).
  2. Padronizamos usando a fórmula do Z:
z=\frac{5000-\mu}{\sigma}=\frac{5000-7000}{600}=\frac{-2000}{600}=-3{,}333\ldots
Expliquei: aqui \mu=7000 e \sigma=600; subtraímos a média e dividimos pelo desvio para obter o z.
  1. Agora precisamos de \Phi(-3{,}333\ldots)=P(Z\le -3{,}333\ldots). Tabelas da normal padrão (ou calculadora) dão valores muito pequenos para z abaixo de -3. Usando uma tabela/valor conhecido:
\Phi(-3{,}33)\approx 0{,}00043.
(Se alguém usar uma calculadora precisa, dá cerca de \Phi(-3{,}3333)\approx 0{,}000429.)
  1. Conclusão do item (a): a probabilidade de um laser falhar antes de 5000 horas é aproximadamente \;0{,}00043 (ou 0{,}043\%).

Passo 4

Resolvendo (b): encontrar o tempo x tal que 95\% dos lasers o excedem.
  1. A frase "95% dos lasers excedem x" significa P(X>x)=0{,}95. Equivalente é P(X\le x)=0{,}05. Ou seja, x é o 5\%-percentil da distribuição.
  2. Em termos da normal padrão, queremos achar z tal que \Phi(z)=0{,}05. Pela tabela/valores da normal padrão sabemos que
z_{0{,}05}\approx -1{,}645,
pois \Phi(-1{,}645)\approx 0{,}05.
Expliquei: o subíndice no z_{0{,}05} indica o quantil cujo CDF é 0{,}05.
  1. Desfazendo a padronização para obter x:
x=\mu + z\sigma = 7000 + (-1{,}645)\cdot 600.
  1. Calculando:
1{,}645\cdot 600 = 987,
logo
x = 7000 - 987 = 6013.
  1. Conclusão do item (b): o tempo tal que 95\% dos lasers o excedem é aproximadamente \;6013 horas. (Interpretação: apenas 5\% dos lasers durarão menos que isso.)

Passo 5

Resolvendo (c): probabilidade de que os três lasers ainda estejam operando depois de 7000 horas, assumindo independência.
  1. Primeiro calculemos a probabilidade de um laser individual ainda estar operando após 7000 horas, isto é P(X>7000).
  2. Para X\sim N(7000,600^2), padronizamos:
z=\frac{7000-7000}{600}=0.
  1. Usando a normal padrão, \Phi(0)=0{,}5. Assim,
P(X\le 7000)=0{,}5 \quad\text{e}\quad P(X>7000)=1-0{,}5=0{,}5.
Expliquei: como 7000 é exatamente a média, há probabilidade igual de cair acima ou abaixo — 50\%.
  1. Com três lasers independentes, a probabilidade de todos os três estarem operando após 7000 horas é o produto das probabilidades individuais:
P(\text{3 funcionando após }7000)=0{,}5^3=0{,}125.ó
  1. Conclusão do item (c): a probabilidade é \;0{,}125 (ou 12{,}5\%).

Resposta

(a) P(X<5000)\approx 0{,}00043 (aprox. 0{,}043\%).
(b) 6013 horas (aprox.).
(c) 0{,}125 (ou 12{,}5\%).

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