The life of a semiconductor laser at a constant power is normally distributed with a mean of 7000 hours and a standard deviation of 600 hours.
(a) What is the probability that a laser fails before 5000 hours?
(b) What is the life in hours that
of the lasers exceed?
(c) If three lasers are used in a product and they are assumed to fail independently, what is the probability that all three are still operating after 7000 hours?
(a) What is the probability that a laser fails before 5000 hours?
(b) What is the life in hours that
(c) If three lasers are used in a product and they are assumed to fail independently, what is the probability that all three are still operating after 7000 hours?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
Informações dadas:
- A vida de um laser segue uma distribuição normal com média
horas e desvio padrão horas. - Assumimos falhas independentes entre lasers quando perguntado sobre mais de um laser.
Perguntas:
(a) Qual a probabilidade de que um laser falhe antes de horas?
(b) Qual o tempo em horas tal que dos lasers o excedem? (ou seja, o
-percentil inferior)
(c) Se três lasers são usados e falham independentemente, qual a probabilidade de que os três ainda estejam funcionando após horas?
(a) Qual a probabilidade de que um laser falhe antes de
(b) Qual o tempo em horas tal que
(c) Se três lasers são usados e falham independentemente, qual a probabilidade de que os três ainda estejam funcionando após
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas, passo a passo):
-
A distribuição normal: uma variável aleatória
é normal com média e desvio padrão . Escrevemos isso como . Aqui é o valor médio (centro) e mede a dispersão das observações em torno da média. -
Para trabalhar com qualquer normal é comum padronizar para a normal padrão (média
, desvio ). A transformação é:
Aqui
tem distribuição normal padrão,
. Essa transformação converte qualquer valor
de
num valor
que podemos olhar em tabelas da normal padrão.
- Notação para a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão:
. Assim, para qualquer:
- Simetria da normal padrão:
. Isso ajuda quando a tabela fornece apenas valores para .
Vou aplicar esses conceitos aos itens (a), (b) e (c).
Passo 3
Resolvendo (a): probabilidade de falhar antes de
horas.
-
Queremos
com . -
Padronizamos usando a fórmula do
:
Expliquei: aqui
e
; subtraímos a média e dividimos pelo desvio para obter o
.
- Agora precisamos de
. Tabelas da normal padrão (ou calculadora) dão valores muito pequenos para abaixo de . Usando uma tabela/valor conhecido:
(Se alguém usar uma calculadora precisa, dá cerca de
.)
- Conclusão do item (a): a probabilidade de um laser falhar antes de
horas é aproximadamente (ou ).
Passo 4
Resolvendo (b): encontrar o tempo
tal que
dos lasers o excedem.
-
A frase "95% dos lasers excedem
" significa . Equivalente é . Ou seja, é o -percentil da distribuição. -
Em termos da normal padrão, queremos achar
tal que . Pela tabela/valores da normal padrão sabemos que
pois
.
Expliquei: o subíndice no
indica o quantil cujo CDF é
.
- Desfazendo a padronização para obter
:
- Calculando:
logo
- Conclusão do item (b): o tempo tal que
dos lasers o excedem é aproximadamente horas. (Interpretação: apenas dos lasers durarão menos que isso.)
Passo 5
Resolvendo (c): probabilidade de que os três lasers ainda estejam operando depois de
horas, assumindo independência.
-
Primeiro calculemos a probabilidade de um laser individual ainda estar operando após
horas, isto é . -
Para
, padronizamos:
- Usando a normal padrão,
. Assim,
Expliquei: como
é exatamente a média, há probabilidade igual de cair acima ou abaixo —
.
- Com três lasers independentes, a probabilidade de todos os três estarem operando após
horas é o produto das probabilidades individuais:
- Conclusão do item (c): a probabilidade é
(ou ).
Resposta
(a)
(aprox.
).
(b) horas (aprox.).
(c) (ou
).
(b)
(c)