Assinale abaixo a série que representa o
em torno de
:
a)
b)
c)
e)
f) NDR
a)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar qual das séries apresentadas representa o
em torno de
. Isso está relacionado ao conteúdo de séries de Taylor, que são usadas para aproximar funções em torno de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como construir a série de Taylor para a função logarítmica
em torno de um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função
em torno de um ponto
é dada por:
No caso da função
, queremos expandi-la em torno de
. Ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias da função
em
:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
E assim por diante.
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula da série de Taylor, temos:
Podemos generalizar isso para:
Resposta
A série correta que representa o
em torno de
é a opção d):