Assinale abaixo a série que representa o ln x em torno de x=7 :
a) ln 7+sumn=1^infty (-1)^n(x-7)^n+1(n+1) b) ln 7+sumn=1^infty (-1)^n-1(x-7)^n-2n 7^n
c) ln 7+sumn=1^infty (-1)^n+1(x-7)^2 n(n+1) n 7^n
ln 7+sumn=1^infty (-1)^n-1(x-7)^nn 7^n e) ln 7+sumn=1^infty x^nn 7^n f) NDR

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar qual das séries apresentadas representa o ln x em torno de x=7. Isso está relacionado ao conteúdo de séries de Taylor, que são usadas para aproximar funções em torno de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como construir a série de Taylor para a função logarítmica ln x em torno de um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função f(x) em torno de um ponto a é dada por:
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)2!(x-a)^2 + f'''(a)3!(x-a)^3 + dots
No caso da função ln x, queremos expandi-la em torno de x=7. Ou seja, a = 7.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias da função f(x) = ln x em x=7:
  • Primeira derivada:
    f'(x) = 1x Rightarrow f'(7) = 17
  • Segunda derivada:
    f''(x) = -1x^2 Rightarrow f''(7) = -17^2 = -149
  • Terceira derivada:
    f'''(x) = 2x^3 Rightarrow f'''(7) = 27^3 = 2343
E assim por diante.

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula da série de Taylor, temos:
ln x = ln 7 + 17(x-7) - 12 cdot 7^2(x-7)^2 + 23! cdot 7^3(x-7)^3 - dots
Podemos generalizar isso para:
ln x = ln 7 + sumn=1^infty (-1)^n-1(x-7)^nn cdot 7^n

Resposta

A série correta que representa o ln x em torno de x=7 é a opção d):
ln 7 + sumn=1^infty (-1)^n-1(x-7)^nn cdot 7^n

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