Assinale abaixo a série que representa o
em torno de
.
a)
b)
c)
d)
e)
f) NDR
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para identificar qual das séries apresentadas representa o
expandido em torno de
. O assunto aqui é séries de Taylor, que são usadas pra aproximar funções em torno de um ponto específico. Para resolver, vamos precisar conhecer a fórmula da série de Taylor para a função logarítmica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral da série de Taylor para uma função
em torno de um ponto
:
No nosso caso, a função é
e o ponto de expansão é
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
E assim por diante.
Passo 4
Agora, substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, temos:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Agora, vamos comparar essa expressão com as alternativas dadas:
a)
b)
c)
d)
e)
f) NDR
b)
c)
d)
e)
f) NDR
A série que encontramos corresponde exatamente à alternativa c.
Resposta
A alternativa correta é a c).