Assinale abaixo a série que representa o ln x em torno de x=7.
a) ln 7+sumn=1^infty (-1)^n(x-7)^n+1(n+1)
b) ln 7+sumn=1^infty (-1)^n-1(x-7)^n-2n 7^n
c) ln 7+sumn=1^infty (-1)^n-1(x-7)^nn 7^n d) sumn=1^infty (x-7)^n(n+1) 5^n e) ln 7+sumn=1^infty x^nn 7^n f) NDR

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para identificar qual das séries apresentadas representa o ln x expandido em torno de x=7. O assunto aqui é séries de Taylor, que são usadas pra aproximar funções em torno de um ponto específico. Para resolver, vamos precisar conhecer a fórmula da série de Taylor para a função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral da série de Taylor para uma função f(x) em torno de um ponto a:
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + f'''(a)3!(x - a)^3 + cdots
No nosso caso, a função é f(x) = ln x e o ponto de expansão é a = 7.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de f(x) = ln x e avaliá-las em x = 7:
  • Primeira derivada:
    f'(x) = 1x Rightarrow f'(7) = 17
  • Segunda derivada:
    f''(x) = -1x^2 Rightarrow f''(7) = -17^2 = -149
  • Terceira derivada:
    f'''(x) = 2x^3 Rightarrow f'''(7) = 27^3 = 2343
E assim por diante.

Passo 4

Agora, substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, temos:
ln x = ln 7 + 17(x - 7) - 12 cdot 7^2(x - 7)^2 + 23! cdot 7^3(x - 7)^3 - cdots
Simplificando os coeficientes:
ln x = ln 7 + sumn=1^infty (-1)^n-1n cdot 7^n (x - 7)^n

Passo 5

Agora, vamos comparar essa expressão com as alternativas dadas:
a) ln 7+sumn=1^infty (-1)^n(x-7)^n+1(n+1)
b) ln 7+sumn=1^infty (-1)^n-1(x-7)^n-2n cdot 7^n
c) ln 7+sumn=1^infty (-1)^n-1(x-7)^nn cdot 7^n
d) sumn=1^infty (x-7)^n(n+1) cdot 5^n
e) ln 7+sumn=1^infty x^nn cdot 7^n
f) NDR
A série que encontramos corresponde exatamente à alternativa c.

Resposta

A alternativa correta é a c).

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