Assinale a alternativa que fornece a única asserção INCORRETA:
a)
para qualquer inteiro
;.
b) A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base (caso sua dimensão seja finita).
c) O conjunto gerador de um espaço vetorial tem exatamente o mesmo número de vetores da base deste espaço.
d) Todo subespaço de um espaço vetorial tem dimensão menor ou no máximo igual a de todo o espaço.
e) Os espaços vetoriais de dimensão infinita possuem subespaços cuja dimensão é finita.
a)
b) A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base (caso sua dimensão seja finita).
c) O conjunto gerador de um espaço vetorial tem exatamente o mesmo número de vetores da base deste espaço.
d) Todo subespaço de um espaço vetorial tem dimensão menor ou no máximo igual a de todo o espaço.
e) Os espaços vetoriais de dimensão infinita possuem subespaços cuja dimensão é finita.
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre dimensão de espaços vetoriais e pede para identificar a única incorreta. O conteúdo envolve definição de dimensão finita, bases, conjuntos geradores, subespaços e exemplos clássicos como
,
(polinômios de grau ≤
) e
(matriz
). Para resolver, vamos usar:
-
. -
. -
. - Definição de dimensão finita (número de vetores em qualquer base).
- Propriedades de subespaços e conjuntos geradores.
Passo 2
Analisando a) “
para qualquer inteiro
”.
Calculamos: ,
,
.
Para vale
Calculamos:
Para
logo a) está correta.
Passo 3
Analisando b) “A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base (caso sua dimensão seja finita)”.
Isso segue diretamente da definição de dimensão em espaços vetoriais finitamente gerados. Portanto b) está correta.
Isso segue diretamente da definição de dimensão em espaços vetoriais finitamente gerados. Portanto b) está correta.
Passo 4
Analisando c) “O conjunto gerador de um espaço vetorial tem exatamente o mesmo número de vetores da base deste espaço”.
Um conjunto gerador pode ter vetores redundantes e, em geral, ter mais vetores do que uma base mínima. Apenas toda base é um conjunto gerador minimal, mas um gerador não precisa ter tamanho igual ao da base. Logo c) é falsa.
Um conjunto gerador pode ter vetores redundantes e, em geral, ter mais vetores do que uma base mínima. Apenas toda base é um conjunto gerador minimal, mas um gerador não precisa ter tamanho igual ao da base. Logo c) é falsa.
Passo 5
Analisando d) “Todo subespaço de um espaço vetorial tem dimensão menor ou no máximo igual à de todo o espaço”.
É propriedade clássica que, em dimensão finita ou infinita, para todo subespaço
. Assim d) está correta.
É propriedade clássica que, em dimensão finita ou infinita,
Passo 6
Analisando e) “Os espaços vetoriais de dimensão infinita possuem subespaços cuja dimensão é finita”.
Basta escolher um número finito de vetores independentes para gerar um subespaço finito. Logo e) está correta.
Basta escolher um número finito de vetores independentes para gerar um subespaço finito. Logo e) está correta.
Passo 7
Como apenas c) é incorreta, essa é a resposta buscada.
Resposta
c) O conjunto gerador de um espaço vetorial tem exatamente o mesmo número de vetores da base deste espaço.