Seja
o espaço vetorial das funções que possuem derivadas de todas as ordens contínuas. Prove que
é um conjunto linearmente independente em
. (Sugestão: faça uma combinação linear nula dessas funcões, derive duas vezes essa combinação para criar um sistema linear
com os coeficientes da combinação inicialmente feita).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é linearmente independente em
. Isto significa que, se tivermos uma combinação linear nula válida para todo
, então todos os coeficientes dessa combinação devem ser zero. Vamos usar derivadas para obter um sistema de três equações lineares em três incógnitas.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que, para todo
,
Aqui
é a combinação linear. Nosso objetivo é mostrar
.
Passo 3
Como
para todo
, então também suas derivadas de primeira e segunda ordem são identicamente nulas. Calculamos:
Passo 4
Agora, para obter um sistema algébrico, basta avaliar
em um ponto específico, por exemplo
. Isso nos dá:
Passo 5
Das duas últimas equações subtraímos
Substituindo
em
obtemos
. E, por fim, em
vem
.
Resposta
Como
é a única solução da combinação nula, concluímos que
é linearmente independente em
.