Assinale a alternativa INCORRETA.
(A) Sempre que a derivada segunda de uma função
mudar de sinal, o gráfico de
apresenta ponto de inflexão.
(B)
teste da derivada segunda falha quando
não existe ou é inconclusivo quando
, sendo c ponto crítico de
.
(C) O gráfico da função
definida por
apresenta ponto de inflexão.
(D) O gráfico de uma função polinomial do
grau tem sempre um ponto de inflexão.
(E) Se existir um ponto sobre o gráfico de uma função no qual há mudança no sentido de sua concavidade, então o gráfico intercepta sua reta tangente nesse ponto.
(A) Sempre que a derivada segunda de uma função
(B)
(C) O gráfico da função
(D) O gráfico de uma função polinomial do
(E) Se existir um ponto sobre o gráfico de uma função no qual há mudança no sentido de sua concavidade, então o gráfico intercepta sua reta tangente nesse ponto.
Passo 1
O enunciado pede: escolher a alternativa INCORRETA entre (A), (B), (C), (D) e (E).
Informações relevantes do enunciado: as alternativas envolvem conceitos sobre ponto de inflexão, derivada segunda, teste da derivada segunda, comportamento de polinômios de grau 3 e relação entre mudança de concavidade e interseção com a reta tangente.
Informações relevantes do enunciado: as alternativas envolvem conceitos sobre ponto de inflexão, derivada segunda, teste da derivada segunda, comportamento de polinômios de grau 3 e relação entre mudança de concavidade e interseção com a reta tangente.
Passo 2
Primeiro vou lembrar (didaticamente) os conceitos que vou usar, de forma simples e sem pular etapas.
Definição intuitiva de ponto de inflexão:
- Dizemos que
é um ponto de inflexão do gráfico de se, ao passar por , a concavidade do gráfico muda de “côncava para cima” para “côncava para baixo” ou vice-versa. Em outras palavras, a concavidade (sinal de ) é diferente à esquerda e à direita de .
Relação com a derivada segunda:
- Se a função for suficientemente suave e
muda de sinal em , então há mudança de concavidade em e, portanto, é ponto de inflexão. - O “teste da derivada segunda” para classificar um ponto crítico
(ou seja, quando ) diz: se então é mínimo local; se então é máximo local; se o teste é inconclusivo (pode ser mínimo, máximo, ponto de sela ou indeciso). Além disso, se não existe, o teste também falha.
Reta tangente e “interceptar” a reta tangente:
- A reta tangente em
é . - Dizer que o gráfico “intercepta” sua reta tangente em
significa que, ao redor de , a função fica alternativamente acima e abaixo de ; isto é, a diferença muda de sinal ao passar por .
Agora vou analisar cada alternativa usando esses conceitos.
Passo 3
Análise da alternativa (A): “Sempre que a derivada segunda de uma função
mudar de sinal, o gráfico de
apresenta ponto de inflexão.”
Explicação:
- Mudança de sinal de
em significa que a concavidade muda de um lado para o outro em . - Isso é exatamente a definição de ponto de inflexão (mudança de concavidade).
Conclusão: a afirmação (A) é verdadeira.
Passo 4
Análise da alternativa (B): “O teste da derivada segunda falha quando
não existe ou é inconclusivo quando
, sendo
ponto crítico de
.”
Explicação:
- Pelo enunciado do teste: se
não existe, não se pode aplicar o teste; se o teste não dá conclusão sobre mínimo ou máximo (é inconclusivo). - A hipótese de
ser ponto crítico (i.e., ) é a situação típica em que se usa esse teste.
Conclusão: a afirmação (B) é verdadeira.
Passo 5
Análise da alternativa (C): “O gráfico da função
definida por
apresenta ponto de inflexão.”
Vou calcular as derivadas:
-
. -
.
Observações:
-
para todo , e somente em . - Para
e para temos (positivo em ambos os lados). Logo não há mudança de sinal de ao atravessar .
Conclusão:
- Não existe mudança de concavidade em
; portanto não é ponto de inflexão. - Logo a afirmação (C) é falsa.
Passo 6
Análise da alternativa (D): “O gráfico de uma função polinomial do
grau tem sempre um ponto de inflexão.”
Considere um polinômio genérico de grau 3:
Derivadas:
-
é uma função afim (linear) com coeficiente , portanto tem exatamente uma raiz:
- Ao atravessar
, muda de sinal (porque uma reta não constante passa de negativo para positivo ou vice-versa ao cruzar sua raiz).
Conclusão:
- Todo polinômio cúbico (grau 3) tem exatamente um ponto onde
muda de sinal; esse ponto é ponto de inflexão. A afirmação (D) é verdadeira.
Passo 7
Análise da alternativa (E): “Se existir um ponto sobre o gráfico de uma função no qual há mudança no sentido de sua concavidade, então o gráfico intercepta sua reta tangente nesse ponto.”
Explicação detalhada e didática (prova simples e intuitiva):
- Seja
o ponto onde a concavidade muda. Defina a reta tangente em :
- Considere a função diferença
Então
e
(porque subtraímos exatamente a reta tangente). Além disso,
.
- Se a concavidade muda em
, então tem sinal diferente à esquerda e à direita de . Suponha, por exemplo, que há tal que para e para . - Para
à esquerda de suficientemente próximo, implica que é uma função decrescente quando se aproxima de pela esquerda; como , tem-se para próximo de . Então, tomando pequeno,
e como
para
perto de
(mas negativo), a integral sobre um intervalo negativo resulta em
. Ou seja, à esquerda de
a diferença
é negativa.
- Analogamente, para
próximo, implica crescente e, com , tem-se para pequeno, o que leva a para pequeno. - Assim,
tem sinal negativo à esquerda de e positivo à direita de , isto é, muda de sinal em . Como , a função fica alternativamente abaixo e acima de sua tangente ao redor de : o gráfico intercepta (e atravessa) a reta tangente em .
Conclusão:
- A afirmação (E) é verdadeira: mudança de concavidade implica que o gráfico cruza a reta tangente naquele ponto.
Passo 8
Resumo das conclusões:
- (A) verdadeira.
- (B) verdadeira.
- (C) falsa (contraexemplo concreto:
não tem inflexão em ). - (D) verdadeira.
- (E) verdadeira.
Portanto a alternativa INCORRETA é a (C).
Resposta
(C)