Assinale a alternativa INCORRETA.
(A) Sempre que a derivada segunda de uma função f mudar de sinal, o gráfico de f apresenta ponto de inflexão.
(B) O teste da derivada segunda falha quando f^{\prime \prime}\text{(c)} não existe ou é inconclusivo quando f^{\prime \prime}\text{(c)}=0, sendo c ponto crítico de f.
(C) O gráfico da função f definida por f(x)=x^{4} apresenta ponto de inflexão.
(D) O gráfico de uma função polinomial do 3^{\circ} grau tem sempre um ponto de inflexão.
(E) Se existir um ponto sobre o gráfico de uma função no qual há mudança no sentido de sua concavidade, então o gráfico intercepta sua reta tangente nesse ponto.

Passo 1

O enunciado pede: escolher a alternativa INCORRETA entre (A), (B), (C), (D) e (E).
Informações relevantes do enunciado: as alternativas envolvem conceitos sobre ponto de inflexão, derivada segunda, teste da derivada segunda, comportamento de polinômios de grau 3 e relação entre mudança de concavidade e interseção com a reta tangente.

Passo 2

Primeiro vou lembrar (didaticamente) os conceitos que vou usar, de forma simples e sem pular etapas.
Definição intuitiva de ponto de inflexão:
  • Dizemos que c é um ponto de inflexão do gráfico de f se, ao passar por c, a concavidade do gráfico muda de “côncava para cima” para “côncava para baixo” ou vice-versa. Em outras palavras, a concavidade (sinal de f'') é diferente à esquerda e à direita de c.
Relação com a derivada segunda:
  • Se a função for suficientemente suave e f'' muda de sinal em c, então há mudança de concavidade em c e, portanto, c é ponto de inflexão.
  • O “teste da derivada segunda” para classificar um ponto crítico c (ou seja, quando f'\text{(c)}=0) diz: se f''\text{(c)}>0 então é mínimo local; se f''\text{(c)}<0 então é máximo local; se f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo (pode ser mínimo, máximo, ponto de sela ou indeciso). Além disso, se f''\text{(c)} não existe, o teste também falha.
Reta tangente e “interceptar” a reta tangente:
  • A reta tangente em x=c é T(x)=f\text{(c)}+f'\text{(c)}(x-c).
  • Dizer que o gráfico “intercepta” sua reta tangente em c significa que, ao redor de c, a função fica alternativamente acima e abaixo de T(x); isto é, a diferença g(x)=f(x)-T(x) muda de sinal ao passar por c.
Agora vou analisar cada alternativa usando esses conceitos.

Passo 3

Análise da alternativa (A): “Sempre que a derivada segunda de uma função f mudar de sinal, o gráfico de f apresenta ponto de inflexão.”
Explicação:
  • Mudança de sinal de f'' em c significa que a concavidade muda de um lado para o outro em c.
  • Isso é exatamente a definição de ponto de inflexão (mudança de concavidade).
    Conclusão: a afirmação (A) é verdadeira.

Passo 4

Análise da alternativa (B): “O teste da derivada segunda falha quando f^{\prime\prime}\text{(c)} não existe ou é inconclusivo quando f^{\prime\prime}\text{(c)}=0, sendo c ponto crítico de f.”
Explicação:
  • Pelo enunciado do teste: se f''\text{(c)} não existe, não se pode aplicar o teste; se f''\text{(c)}=0 o teste não dá conclusão sobre mínimo ou máximo (é inconclusivo).
  • A hipótese de c ser ponto crítico (i.e., f'\text{(c)}=0) é a situação típica em que se usa esse teste.
    Conclusão: a afirmação (B) é verdadeira.

Passo 5

Análise da alternativa (C): “O gráfico da função f definida por f(x)=x^{4} apresenta ponto de inflexão.”
Vou calcular as derivadas:
  • f'(x)=4x^{3}.
  • f''(x)=12x^{2}.
Observações:
  • f''(x)=12x^{2}\ge 0 para todo x, e f''(x)=0 somente em x=0.
  • Para x<0 e para x>0 temos f''(x)>0 (positivo em ambos os lados). Logo não há mudança de sinal de f'' ao atravessar x=0.
Conclusão:
  • Não existe mudança de concavidade em x=0; portanto x=0 não é ponto de inflexão.
  • Logo a afirmação (C) é falsa.

Passo 6

Análise da alternativa (D): “O gráfico de uma função polinomial do 3^{\circ} grau tem sempre um ponto de inflexão.”
Considere um polinômio genérico de grau 3:
f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,\quad a\neq 0.
Derivadas:
f''(x)=6ax+2b.
  • f'' é uma função afim (linear) com coeficiente 6a\neq 0, portanto tem exatamente uma raiz:
x_0=-\dfrac{2b}{6a}=-\dfrac{b}{3a}.
  • Ao atravessar x_0, f'' muda de sinal (porque uma reta não constante passa de negativo para positivo ou vice-versa ao cruzar sua raiz).
Conclusão:
  • Todo polinômio cúbico (grau 3) tem exatamente um ponto onde f'' muda de sinal; esse ponto é ponto de inflexão. A afirmação (D) é verdadeira.

Passo 7

Análise da alternativa (E): “Se existir um ponto sobre o gráfico de uma função no qual há mudança no sentido de sua concavidade, então o gráfico intercepta sua reta tangente nesse ponto.”
Explicação detalhada e didática (prova simples e intuitiva):
  • Seja c o ponto onde a concavidade muda. Defina a reta tangente em c:
T(x)=f\text{(c)}+f'\text{(c)}(x-c).
  • Considere a função diferença
g(x)=f(x)-T(x).
Então g\text{(c)}=0 e g'\text{(c)}=0 (porque subtraímos exatamente a reta tangente). Além disso, g''(x)=f''(x).
  • Se a concavidade muda em c, então g'' tem sinal diferente à esquerda e à direita de c. Suponha, por exemplo, que há \delta>0 tal que g''(x)<0 para x\in(c-\delta,c) e g''(x)>0 para x\in(c,c+\delta).
  • Para x à esquerda de c suficientemente próximo, g''<0 implica que g' é uma função decrescente quando se aproxima de c pela esquerda; como g'\text{(c)}=0, tem-se g'(x)>0 para x<c próximo de c. Então, tomando h<0 pequeno,
g(c+h)=\int_{0}^{h} g'(c+u)\,du,
e como g'(c+u)>0 para u perto de 0 (mas negativo), a integral sobre um intervalo negativo resulta em g(c+h)<0. Ou seja, à esquerda de c a diferença g é negativa.
  • Analogamente, para x>c próximo, g''>0 implica g' crescente e, com g'\text{(c)}=0, tem-se g'(x)>0 para x>c pequeno, o que leva a g(c+h)>0 para h>0 pequeno.
  • Assim, g tem sinal negativo à esquerda de c e positivo à direita de c, isto é, g muda de sinal em c. Como g\text{(c)}=0, a função f fica alternativamente abaixo e acima de sua tangente T ao redor de c: o gráfico intercepta (e atravessa) a reta tangente em c.
Conclusão:
  • A afirmação (E) é verdadeira: mudança de concavidade implica que o gráfico cruza a reta tangente naquele ponto.

Passo 8

Resumo das conclusões:
  • (A) verdadeira.
  • (B) verdadeira.
  • (C) falsa (contraexemplo concreto: f(x)=x^{4} não tem inflexão em 0).
  • (D) verdadeira.
  • (E) verdadeira.
Portanto a alternativa INCORRETA é a (C).

Resposta

(C)

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