Um professor propôs a resolução da integral \int \sqrt{2 x+1} d x. Analise as afirmativas de três alunos, A , B e C , e assinale a alternativa correta.
Aluno A: A integral pode ser resolvida substituindo ( 2 x+1 ) por u e fazendo os cálculos corretos.
Aluno B: A integral pode ser resolvida substituindo \sqrt{2 x+1} por u e fazendo os cálculos corretos.
Aluno C: A integral não pode ser resolvida pelo método da substituição.
(A) Apenas o aluno A está correto.
(B) Apenas o aluno B está correto.
(C) Apenas o aluno C está correto.
(D) Os alunos A e B estão corretos.
(E) Todos os alunos estão incorretos.

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int \sqrt{2x+1}\,dx
e pede para analisar as afirmativas dos alunos:
  • Aluno A: substituir (2x+1) por u resolve a integral.
  • Aluno B: substituir \sqrt{2x+1} por u resolve a integral.
  • Aluno C: a integral não pode ser resolvida pelo método da substituição.
Lista de informações relevantes:
  • A função a integrar é \sqrt{2x+1}=(2x+1)^{1/2}.
  • O método da substituição consiste em trocar a variável x por u=g(x) de modo que dx possa ser escrito em função de du.
  • Vou testar explicitamente as duas substituições propostas (A e B) e verificar se cada uma leva a uma integral em u que se sabe resolver.

Passo 2

Breve lembrete do método da substituição (passo-a-passo):
  • Se escolhermos u=g(x), então du=g'(x)\,dx.
  • Usamos essa relação para escrever dx como dx=\dfrac{du}{g'(x)} ou, se possível, isolamos dx diretamente em termos de u e du.
  • Substituímos toda a expressão da integral (a função que depende de x e dx) por uma expressão em u e du.
  • Integramos em u usando regras básicas (por exemplo, regra de potência: \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C, para n\neq-1) e depois voltamos a x se necessário.

Passo 3

Testando a substituição do Aluno A: escolher
u = 2x+1.
Derivando ambos os lados,
du = 2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral:
\int \sqrt{2x+1}\,dx = \int \sqrt{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du.
Agora aplicamos a regra de potência para integrar u^{1/2}:
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}=\frac{1}{3}u^{3/2}+C.
Voltando a x,
\int \sqrt{2x+1}\,dx=\frac{1}{3}(2x+1)^{3/2}+C.
Conclusão parcial: a substituição proposta pelo Aluno A funciona e dá uma primitiva explícita.

Passo 4

Explicação didática da etapa de integração usada acima:
  • A regra de potência diz que para qualquer n\neq-1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
  • No caso n=\tfrac{1}{2} temos n+1=\tfrac{3}{2}, então \int u^{1/2}\,du=\dfrac{u^{3/2}}{3/2}.
  • Simplificar frações como \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3/2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3} é rotina aritmética que deve ser feita com cuidado na prova.

Passo 5

Testando a substituição do Aluno B: escolher
u = \sqrt{2x+1}=(2x+1)^{1/2}.
Para relacionar du e dx é conveniente escrever u^2=2x+1. Derivando ambos os lados em relação a x,
2u\,\frac{du}{dx}=2 \quad\Rightarrow\quad \frac{du}{dx}=\frac{1}{u}.
Mais direto (resolver para dx): diferenciando u^2=2x+1 em termos de u
2u\,du=2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=u\,du.
(Substituição válida porque a relação acima é equivalente à anterior e permite escrever dx em função de u e du.)
Agora substituímos na integral. A integranda \sqrt{2x+1} é exatamente u, e dx=u\,du. Logo
\int \sqrt{2x+1}\,dx = \int u\cdot(u\,du)=\int u^{2}\,du.
Aplicando a regra de potência com n=2:
\int u^{2}\,du=\frac{u^{3}}{3}+C.
Voltando para x (lembrando u=(2x+1)^{1/2}):
\frac{u^{3}}{3}=\frac{1}{3}\bigl((2x+1)^{1/2}\bigr)^{3}=\frac{1}{3}(2x+1)^{3/2}+C.
Conclusão parcial: a substituição do Aluno B também funciona e dá exatamente a mesma primitiva encontrada pelo Aluno A.

Passo 6

Comparação e interpretação:
  • As duas substituições (A e B) são válidas e levam à mesma primitiva
\frac{1}{3}(2x+1)^{3/2}+C.
  • O fato de existirem duas substituições possíveis é normal: uma escolha coloca u diretamente na expressão interna da raiz, a outra escolhe a própria raiz; ambas são relacionadas algebraicamente e produzem integrais simples em u.
  • Portanto o método da substituição é aplicável aqui; o Aluno C está incorreto.

Resposta

(D)

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