Um professor propôs a resolução da integral
. Analise as afirmativas de três alunos, A , B e C , e assinale a alternativa correta.
Aluno A: A integral pode ser resolvida substituindo (
) por u e fazendo os cálculos corretos.
Aluno B: A integral pode ser resolvida substituindo
por u e fazendo os cálculos corretos.
Aluno C: A integral não pode ser resolvida pelo método da substituição.
(A) Apenas o aluno A está correto.
(B) Apenas o aluno
está correto.
(C) Apenas o aluno C está correto.
(D) Os alunos A e B estão corretos.
(E) Todos os alunos estão incorretos.
Aluno B: A integral pode ser resolvida substituindo
Aluno C: A integral não pode ser resolvida pelo método da substituição.
(A) Apenas o aluno A está correto.
(B) Apenas o aluno
(C) Apenas o aluno C está correto.
(D) Os alunos A e B estão corretos.
(E) Todos os alunos estão incorretos.
Passo 1
O enunciado dá a integral
e pede para analisar as afirmativas dos alunos:
- Aluno A: substituir
por resolve a integral. - Aluno B: substituir
por resolve a integral. - Aluno C: a integral não pode ser resolvida pelo método da substituição.
Lista de informações relevantes:
- A função a integrar é
. - O método da substituição consiste em trocar a variável
por de modo que possa ser escrito em função de . - Vou testar explicitamente as duas substituições propostas (A e B) e verificar se cada uma leva a uma integral em
que se sabe resolver.
Passo 2
Breve lembrete do método da substituição (passo-a-passo):
- Se escolhermos
, então . - Usamos essa relação para escrever
como ou, se possível, isolamos diretamente em termos de e . - Substituímos toda a expressão da integral (a função que depende de
e ) por uma expressão em e . - Integramos em
usando regras básicas (por exemplo, regra de potência: , para ) e depois voltamos a se necessário.
Passo 3
Testando a substituição do Aluno A: escolher
Derivando ambos os lados,
Substituindo na integral:
Agora aplicamos a regra de potência para integrar
:
Portanto
Voltando a
,
Conclusão parcial: a substituição proposta pelo Aluno A funciona e dá uma primitiva explícita.
Passo 4
Explicação didática da etapa de integração usada acima:
- A regra de potência diz que para qualquer
,
- No caso
temos , então . - Simplificar frações como
é rotina aritmética que deve ser feita com cuidado na prova.
Passo 5
Testando a substituição do Aluno B: escolher
Para relacionar
e
é conveniente escrever
. Derivando ambos os lados em relação a
,
Mais direto (resolver para
): diferenciando
em termos de
dá
(Substituição válida porque a relação acima é equivalente à anterior e permite escrever
em função de
e
.)
Agora substituímos na integral. A integranda é exatamente
, e
. Logo
Agora substituímos na integral. A integranda
Aplicando a regra de potência com
:
Voltando para
(lembrando
):
Conclusão parcial: a substituição do Aluno B também funciona e dá exatamente a mesma primitiva encontrada pelo Aluno A.
Passo 6
Comparação e interpretação:
- As duas substituições (A e B) são válidas e levam à mesma primitiva
- O fato de existirem duas substituições possíveis é normal: uma escolha coloca
diretamente na expressão interna da raiz, a outra escolhe a própria raiz; ambas são relacionadas algebraicamente e produzem integrais simples em . - Portanto o método da substituição é aplicável aqui; o Aluno C está incorreto.
Resposta
(D)