Q2: Assinale um autovetor associado ao menor autovalor de
\left[\begin{array}{rrr} 9 & -4 & 2 \\\\ 0 & 8 & 1 \\\\ 0 & 0 & 8 \end{array}\right] .
(A) \left[\begin{array}{c}4 \\\\ 1 \\\ \star\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{c}5 \\\\ 1 \\\ \star\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}6 \\\\ 1 \\\ \star\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}7 \\\\ 1 \\\ \star\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede um autovetor associado ao menor autovalor da matriz
A = \begin{pmatrix} 9 & -4 & 2 \\\\ 0 & 8 & 1 \\\\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é autovalores e autovetores de matrizes triangulares. Vamos usar que, em matriz triangular, os autovalores são os elementos da diagonal, e depois resolver (A-\lambda I)v=0 para encontrar o autovetor.

Passo 2

Primeiro, identificamos os autovalores pela diagonal de A:
\lambda_1 = 9, \lambda_2 = 8, \lambda_3 = 8.

Passo 3

O menor autovalor é \lambda = 8. Precisamos achar os autovetores que satisfazem
(A - 8I)v = 0.

Passo 4

Calculando A-8I\): \[A - 8I = \begin{pmatrix} 9-8 & -4 & 2 \\\\ 0 & 8-8 & 1 \\\\ 0 & 0 & 8-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} x - 4y + 2z = 0,\\\ z = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem z=0\]. Substituindo na primeira, \(x -4y = 0, logo x=4y. Assim o espaço próprio é formado pelos vetores
v = \begin{pmatrix}4y\\\ y\\\\ 0\end{pmatrix} \quad(y\neq 0).

Passo 5

Escolhendo y=1 para obter um autovetor simples, temos
v = \begin{pmatrix}4\\\\ 1\\\\ 0\end{pmatrix}.
Esse vetor coincide com a opção (A), pois as outras teriam x\neq 4 quando y=1.

Resposta

(A)

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