Seja \mathbf{u}=\left(u_{1}, u_{2}\right). Considere a forma quadrática F(\mathbf{u})=\left[\begin{array}{ll}u_{1} & u_{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}u_{1} \\\ u_{2}\end{array}\right].
Assinale a alternativa VERDADEIRA.
(A) F(\mathbf{u})<0 para todo \mathbf{u} \neq \mathbf{0}.
(B) F(\mathbf{u})>0 para todo \mathbf{u} \neq \mathbf{0}.
(C) Existem \mathbf{u} e \mathbf{v} tal que F(\mathbf{u})<0 e F(\mathbf{v})>0.
(D) Nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

O enunciado define a forma quadrática
F(\mathbf{u}) = \begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}4&2\\\ 2&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_{1}\u_{2}\end{bmatrix}.
Precisamos decidir qual das alternativas (A), (B), (C) ou (D) descreve corretamente o sinal de F(\mathbf{u}) para \mathbf{u}\neq\mathbf{0}.

Passo 2

Como a matriz
A = \begin{pmatrix}4&2\\\ 2&1\end{pmatrix}
é simétrica, aplicamos o critério dos menores principais para detectar se F é definida positiva, semidefinida ou indefinida.

Passo 3

Calculamos os menores principais de A:
O primeiro menor é
D_{1} = 4 > 0,
e o segundo menor (o determinante completo) é
D_{2} = \det(A) = 4\cdot1 - 2\cdot2 = 4 - 4 = 0.

Passo 4

Como D_{1}>0 e D_{2}=0, concluímos que A é semidefinida positiva. Logo
F(\mathbf{u}) \ge 0\quad\text{para todo }\mathbf{u},
com igualdade ocorrendo para alguns \mathbf{u}\neq\mathbf{0}, mas nunca F(\mathbf{u})<0.

Passo 5

Para ver que existem vetores não nulos com F(\mathbf{u})=0\), resolvemos \[A\mathbf{u}=\mathbf{0} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 4u_{1}+2u_{2}=0,\\\\ 2u_{1}+u_{2}=0, \end{cases}
cuja solução é u_{2}=-2u_{1}\]. Por exemplo, \(\mathbf{u}=(1,-2)\neq\mathbf{0} F(\mathbf{u})=0. Para qualquer vetor não paralelo a (1,-2) tem-se F(\mathbf{u})>0.

Passo 6

Verificando as alternativas:
(A) Falsa, pois não há valores negativos.
(B) Falsa, pois nem todo \mathbf{u}\neq\mathbf{0} produz valor estritamente positivo (alguns dão zero).
(C) Falsa, pois não existem valores negativos.
Logo, a alternativa correta é a (D).

Resposta

(D)

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