Assinale a expressão que representa uma relação afim entre duas quantidades p e q e que satisfaz à seguinte tabela de dados:
p 1 2
q 2 5
(a) q-p-1=0
(b) q=4 p^{2}-8 p+5
(c) q-p^{2}-1=0
(d) q-3 p+1=0

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com dois pares (p,q) e pede que se assinale a expressão que (1) representa uma relação afim entre p e q e (2) satisfaz os dados da tabela. Os dados fornecidos são:
  • Para p=1 tem-se q=2.
  • Para p=2 tem-se q=5.
As alternativas são:
(a) q-p-1=0
(b) q=4 p^{2}-8 p+5
(c) q-p^{2}-1=0
(d) q-3 p+1=0

Passo 2

O que significa “relação afim”? Uma relação afim entre p e q tem a forma
q = a\,p + b,
onde a é a inclinação (taxa de variação de q em relação a p) e b é a ordenada no eixo q (valor de q quando p=0). Para determinar a e b usando dois pontos (p_1,q_1) e (p_2,q_2) usamos:
a = \frac{q_2-q_1}{p_2-p_1}, \qquad b = q_1 - a\,p_1.
Vou aplicar isso aos pontos dados.

Passo 3

Calcular a inclinação a com os pontos (1,2) e (2,5):
a = \frac{5-2}{2-1} = \frac{3}{1} = 3.

Passo 4

Calcular o intercepto b usando o ponto (1,2):
b = q_1 - a\,p_1 = 2 - 3\cdot 1 = 2 - 3 = -1.

Passo 5

Portanto a relação afim que passa pelos dois pontos é
q = 3p - 1.
Reescrevendo na forma apresentada nas alternativas:
q - 3p + 1 = 0.
Isto coincide com a alternativa (d).

Passo 6

Verificação rápida das alternativas com os dois pontos (só para confirmar e explicar por que as outras não servem):
  • (a) q-p-1=0 é q=p+1. Teste em p=2: q=p+1=3\neq5. Logo (a) falha.
  • (b) q=4p^{2}-8p+5. Teste em p=1: q=4-8+5=1\neq2. Logo (b) falha.
  • (c) q-p^{2}-1=0 é q=p^{2}+1. Teste em p=1: q=1+1=2 (ok). Teste em p=2: q=4+1=5 (ok). As duas coordenadas satisfazem (c), porém esta expressão NÃO é afim porque contém o termo p^{2} (é quadrática, não da forma ap+b). Portanto (c) não atende ao requisito “relação afim”.
  • (d) q-3p+1=0 é exatamente q=3p-1. Testando: em p=1, q=2; em p=2, q=5. Além disso é afim (tem forma ap+b). Logo (d) é correta.

Resposta

(d)

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