Encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \left{s_{n}\right}, e obtenha uma fórmula para
em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Encontrar os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
. - Obter uma fórmula para
em termos de . - Determinar se a série infinita
converge ou diverge; se convergir, achar a sua soma.
Informação dada: o termo geral da série é
Passo 2
Vamos decompor o termo geral em frações parciais — isso é um truque padrão quando aparecem produtos lineares no denominador e é útil porque muitas vezes gera somas telescópicas.
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agrupando termos em
e termos constantes:
Como o lado direito não tem termo em
, devemos ter
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Portanto a decomposição é
Passo 3
Agora escrevemos a soma parcial
usando a forma em frações parciais:
Expandindo os primeiros termos da soma vemos o cancelamento telescópico:
pois todos os termos intermediários
se cancelam em pares.
Passo 4
Simplificando a expressão obtida:
Esta é a fórmula fechada para
.
Com ela podemos obter os quatro primeiros elementos facilmente:
Passo 5
Para decidir a convergência, calculamos o limite de
quando
:
Como a sequência de somas parciais converge para
, a série
é convergente e sua soma é
.
Resposta
A série converge e
.