Encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \left{s_{n}\right}, e obtenha uma fórmula para s_{n} em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Encontrar os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \{s_{n}\}.
  • Obter uma fórmula para s_{n} em termos de n.
  • Determinar se a série infinita \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} converge ou diverge; se convergir, achar a sua soma.
Informação dada: o termo geral da série é
a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)},\qquad n=1,2,3,\dots

Passo 2

Vamos decompor o termo geral em frações parciais — isso é um truque padrão quando aparecem produtos lineares no denominador e é útil porque muitas vezes gera somas telescópicas.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}.
Multiplicando ambos os lados por (2n-1)(2n+1) obtemos
1=A(2n+1)+B(2n-1).
Agrupando termos em n e termos constantes:
1=(2A+2B)n+(A-B).
Como o lado direito não tem termo em n, devemos ter
2A+2B=0\quad\text{e}\quad A-B=1.
Da primeira equação vem A+B=0\Rightarrow B=-A. Substituindo na segunda:
A-(-A)=2A=1\Rightarrow A=\tfrac{1}{2},\quad B=-\tfrac{1}{2}.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right).

Passo 3

Agora escrevemos a soma parcial s_n=\sum_{k=1}^{n}a_k usando a forma em frações parciais:
s_n=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right).
Expandindo os primeiros termos da soma vemos o cancelamento telescópico:
\begin{aligned} s_n &= \frac{1}{2}\Big[\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\Big] \\\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2n+1}\right), \end{aligned}
pois todos os termos intermediários \frac{1}{3},\frac{1}{5},\dots,\frac{1}{2n-1} se cancelam em pares.

Passo 4

Simplificando a expressão obtida:
s_n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2n}{2n+1}=\frac{n}{2n+1}.
Esta é a fórmula fechada para s_n.
Com ela podemos obter os quatro primeiros elementos facilmente:
\begin{aligned} s_1&=\frac{1}{3},\\\ s_2&=\frac{2}{5},\\\ s_3&=\frac{3}{7},\\\ s_4&=\frac{4}{9}. \end{aligned}

Passo 5

Para decidir a convergência, calculamos o limite de s_n quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}.
Como a sequência de somas parciais converge para \tfrac{1}{2}, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} é convergente e sua soma é \tfrac{1}{2}.

Resposta

s_1=\dfrac{1}{3}
s_2=\dfrac{2}{5}
s_3=\dfrac{3}{7}
s_4=\dfrac{4}{9}
s_n=\frac{n}{2n+1}
A série converge e \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}.

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