Assinale Falso ou Verdadeiro. Justifique sua resposta!
a) O método de Jacobi é convergente se, e somente se, o critério das linhas for satisfeito.
b) Se o método de Gauss-Seidel é convergente, então o critério das linhas é satisfeito.
c) Se 0<\omega<2 então o método SOR é convergente.
d) Se 0<\omega<2 e a matriz dos coeficientes é simétrica e definida positiva então o método SOR é convergente.
e) O método SOR diverge se \omega \leq 0 ou \omega \geq 2.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as cinco afirmações a avaliar (sem resolver ainda). Para cada item devo dizer se é Verdadeiro ou Falso e justificar.
As afirmações são:
a) “O método de Jacobi é convergente se, e somente se, o critério das linhas for satisfeito.”
b) “Se o método de Gauss–Seidel é convergente, então o critério das linhas é satisfeito.”
c) “Se 0<\omega<2 então o método SOR é convergente.”
d) “Se 0<\omega<2 e a matriz dos coeficientes é simétrica e definida positiva então o método SOR é convergente.”
e) “O método SOR diverge se \omega \leq 0 ou \omega \geq 2.”
Informações que vou usar (presente no enunciado implicitamente):
  • Os métodos iterativos considerados são os estacionários clássicos: Jacobi, Gauss–Seidel e SOR, aplicados a um sistema linear A x = b onde, como de costume, A tem elementos diagonais não nulos (caso contrário os métodos não são bem definidos sem pivotamento).
  • Vou usar as formulações de iteração baseadas na decomposição A = D - L - U, onde D é a diagonal de A, L a parte estritamente triangular inferior (com sinais tal que A=D-L-U) e U a parte estritamente triangular superior.
  • Lembrete de convergência: um método iterativo linear com matriz de iteração B converge para a solução para toda condição inicial se, e somente se, \rho(B)<1, onde \rho(B) é o raio espectral (maior valor absoluto dos autovalores de B).

Passo 2

Definições e fórmulas que vou usar (aulas rápidas e essenciais):
  • Decomposição:
A = D - L - U,
onde D é diagonal, L tem zeros na diagonal e abaixo da diagonal (com sinais escolhidos conforme a fórmula abaixo), U é estritamente triangular superior.
  • Matrizes de iteração:
    • Jacobi:
    B_J = D^{-1}(L+U).
    • Gauss–Seidel:
    B_{GS} = (D - L)^{-1} U.
    (algumas fontes usam sinais diferentes mas a forma essencial é x^{(k+1)}=(D-L)^{-1}Ux^{(k)}+(D-L)^{-1}b, então a matriz de iteração é B_{GS}=(D-L)^{-1}U.)
    • SOR (com relaxação \omega):
    B_\omega = (D - \omega L)^{-1}\big((1-\omega)D + \omega U\big).
    (Novamente, atenção às convenções de sinal; aqui uso a forma usual obtida ao escrever a iteração SOR.)
  • Critério das linhas (estrita dominância diagonal por linha):
\text{para todo } i:\qquad |a_{ii}| > \sum_{j\ne i} |a_{ij}|.
É um critério suficiente para a convergência de Jacobi e Gauss–Seidel (ou seja, se a matriz satisfaz esse critério então ambos convergem), mas não é, em geral, necessário.
  • Teste de convergência prático: calcular \rho(B). Se \rho(B)<1 então converge; se \rho(B)\ge1 então não converge.

Passo 3

Item (a): análise e contraexemplo. Afirmação: “Jacobi é convergente se, e somente se, o critério das linhas for satisfeito.”
Explicação didática: o critério das linhas é suficiente para convergência do método de Jacobi, mas não é necessário. Ou seja, existem matrizes que NÃO satisfazem o critério das linhas e mesmo assim o Jacobi converge (porque a convergência depende de \rho(B_J), não apenas da dominância diagonal).
Contraexemplo numérico (passo a passo):
Considere
A = \begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
  • Verificar o critério das linhas:
    • Para a linha 1: |a_{11}| = 2 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}| = |-3| = 3. Aqui 2 \not> 3, logo a primeira linha não satisfaz a dominância diagonal estrita. Então o critério das linhas NÃO é satisfeito por esta matriz.
  • Matriz de iteração de Jacobi:
D = \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix},\qquad L+U = \begin{pmatrix}0 & -3\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix},
B_J = D^{-1}(L+U) = \begin{pmatrix}0 & -3/2\\[4pt] -1/2 & 0\end{pmatrix}.
  • Autovalores de B_J: resolvendo \det(B_J-\lambda I)=0 \lambda = \pm\sqrt{\tfrac{3}{4}} = \pm\sqrt{0,75}, logo
    \rho(B_J)=\sqrt{0,75}\approx0,866<1.
  • Conclusão: mesmo sem dominância diagonal por linhas, \rho(B_J)<1 e o método de Jacobi converge para esta A.
Portanto a afirmação “se, e somente se” é falsa: o critério das linhas garante convergência, mas não é condição necessária. Item (a) é FALSO.]

Passo 4

Item (b): análise e contraexemplo. Afirmação: “Se Gauss–Seidel é convergente, então o critério das linhas é satisfeito.”
Explicação didática: esta afirmação é a recíproca de uma afirmação verdadeira (dominância diagonal implica convergência de Gauss–Seidel). Mas a recíproca não é verdadeira em geral: Gauss–Seidel pode convergir mesmo quando a matriz NÃO é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Podemos usar o mesmo contraexemplo do item (a).
Usando novamente
A = \begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix},
já vimos que o critério das linhas NÃO é satisfeito. Agora calcule a matriz de iteração de Gauss–Seidel:
  • D-L = \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}, U = \begin{pmatrix}0 & -3\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
  • Inversa de D-L: como é triangular inferior, (D-L)^{-1} = \begin{pmatrix}1/2 & 0\\[4pt] 1/4 & 1/2\end{pmatrix}.
  • Então
B_{GS} = (D-L)^{-1}U = \begin{pmatrix}1/2 & 0\\[4pt] 1/4 & 1/2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -3\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -3/2\\[4pt] 0 & -3/4\end{pmatrix}.
  • Os autovalores são 0 e -3/4; assim \rho(B_{GS})=3/4<1. Portanto Gauss–Seidel converge para esta matriz, apesar da primeira linha não satisfazer a dominância diagonal.
Conclusão: a convergência do método de Gauss–Seidel NÃO implica que o critério das linhas seja satisfeito. Item (b) é FALSO.]

Passo 5

Item (c): análise e contraexemplo. Afirmação: “Se 0<\omega<2 então o método SOR é convergente.”
Explicação didática: o intervalo 0<\omega<2 é a faixa típica de interesse para SOR (relaxação positiva e não excessiva). Contudo, a condição \,0<\omega<2 isoladamente NÃO garante convergência para qualquer matriz A. É necessário impor propriedades adicionais a A (por exemplo: simetria e definição positiva, ou dominância diagonal, etc.). Então a afirmação, tomada sem hipóteses sobre A, é falsa.
Contraexemplo (cálculo explícito) — escolha A para o qual SOR diverge mesmo com \omega no intervalo (0,2):
Considere
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}.
Este A não é estritamente diagonalmente dominante e não é definida positiva (tem autovalores 3 e -1); Gauss–Seidel diverge aqui, e SOR também pode divergir para muitos \omega\in(0,2).
Vou calcular explicitamente B_\omega e mostrar divergência para \omega=0{,}5 (um valor em (0,2)):
  • D = I, L = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}, U = \begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
  • Fórmula geral (para este A) dá
B_\omega = (D-\omega L)^{-1}\big((1-\omega)D + \omega U\big).
Calcule passo a passo para \omega=0{,}5:
  • D-\omega L = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] -2\omega & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.
  • Sua inversa é \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
  • (1-\omega)D + \omega U = \begin{pmatrix}1-\omega & 2\omega\\[4pt] 0 & 1-\omega\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}5 & 1\\[4pt] 0 & 0{,}5\end{pmatrix}.
  • Multiplicando:
B_{0,5} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0{,}5 & 1\\[4pt] 0 & 0{,}5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}5 & 1\\[4pt] 0{,}5 & 1{,}5\end{pmatrix}.
  • Os autovalores de B_{0,5} são raízes de \lambda^2 - 2\lambda + 0{,}25 = 0, portanto
    \lambda = 1 \pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}, aproximadamente 1{,}866 e 0{,}134. Assim \rho(B_{0,5})\approx 1{,}866>1, logo SOR diverge para \omega=0{,}5.
Conclusão: existem matrizes A e \omega\in(0,2) para os quais SOR diverge; portanto a afirmação (c) é FALSA.]

Passo 6

Item (d): análise teórica e justificativa. Afirmação: “Se 0<\omega<2 e a matriz dos coeficientes é simétrica e definida positiva então o método SOR é convergente.”
Explicação didática e teorema relevante:
  • Para matrizes A simétricas e definidas positivas (SPD), há resultados clássicos que garantem a convergência do método de Gauss–Seidel; mais ainda, o método SOR converge para todo \omega tal que 0<\omega<2. Em palavras: para A SPD, a SOR é convergente para qualquer fator de relaxação \omega estritamente entre 0 e 2.
  • Intuição (sem prova técnica completa): a SPD fornece uma norma natural (a norma-A ou “energy norm”) em que a iteração contrai a componente do erro quando \omega está nessa faixa. Existem provas formais em livros (por exemplo em Varga, “Matrix Iterative Analysis”) que mostram \rho(B_\omega)<1 para 0<\omega<2 quando A é SPD. Além disso, existe um \omega_{\text{opt}}\in(0,2) que minimiza \rho(B_\omega) e acelera a convergência.
  • Observação prática: essa propriedade é uma das razões pelas quais SOR é muito usada em problemas de discretização de operadores elípticos (que levam a matrizes SPD).
Conclusão: a afirmação (d) é VERDADEIRA.

Passo 7

Item (e): demonstração geral que mostra porque a afirmação é verdadeira. Afirmação: “O método SOR diverge se \omega \leq 0 ou \omega \geq 2.”
Prova curta e elegante baseada no determinante:
  • Partimos da matriz de iteração SOR (forma triangular das peças é suficiente):
B_\omega = (D - \omega L)^{-1}\big((1-\omega)D + \omega U\big).
  • Observação: D-\omega L é triangular inferior com diagonais iguais aos de D (portanto \det(D-\omega L)=\prod_i a_{ii}). A matriz (1-\omega)D + \omega U é triangular superior com diagonais (1-\omega)a_{ii} (portanto seu determinante é \prod_i (1-\omega)a_{ii} = (1-\omega)^n \prod_i a_{ii}).
  • Assim o determinante da matriz de iteração vale
\det(B_\omega) \;=\; \frac{\det\big((1-\omega)D + \omega U\big)}{\det(D-\omega L)} \;=\; \frac{(1-\omega)^n \prod_i a_{ii}}{\prod_i a_{ii}} \;=\; (1-\omega)^n.
  • Consequência: o produto dos autovalores de B_\omega é (1-\omega)^n. Pelo teorema espectral básico,
\rho(B_\omega) \;\ge\; \big|\det(B_\omega)\big|^{1/n} \;=\; |1-\omega|.
  • Portanto, se \omega\le 0 então |1-\omega|\ge1, e se \omega\ge 2 então |1-\omega|\ge1. Em ambos os casos \rho(B_\omega)\ge1, o que impede convergência (convergência exigiria \rho(B_\omega)<1). Se |1-\omega|=1 (por exemplo \omega=0 ou \omega=2) pode ocorrer \rho(B_\omega)=1 e então não há convergência (no máximo não-diminuição do erro); se |1-\omega|>1 a divergência é garantida.
Observação técnica: pressupõe-se que os a_{ii} são todos não nulos (condição padrão para definir SOR sem pivotamento). Com essa hipótese, a demonstração acima é válida e universal (não depende de A ser SPD, etc.). Logo, sob as hipóteses usuais, (e) é VERDADEIRA.

Resposta

a) Falso
b) Falso
c) Falso
d) Verdadeiro
e) Verdadeiro

Exercícios relacionados