Podemos determinar a solução aproximada do sistema usando o método de Gauss - Seidel para qualquer aproximação inicial? justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se podemos determinar a solução aproximada do sistema pelo método de Gauss–Seidel para qualquer aproximação inicial e justificar. O sistema dado no enunciado está escrito em LaTeX com quebras, mas dos termos apresentados eu extraio as seguintes equações (peguei os coeficientes das linhas fornecidas; não há indicação de que alguma variável esteja faltando nas linhas internas):
Das linhas acima os coeficientes das incógnitas (ignorando o possível valor do segundo membro da segunda equação, que não afeta as condições de convergência do método iterativo) permitem formar a matriz de coeficientes
A pergunta que vou responder é: “o método de Gauss–Seidel converge para a solução do sistema a partir de qualquer aproximação inicial?” (ou seja, converge independentemente do chute inicial).]
Passo 2
Vou explicar o que é preciso checar para responder essa pergunta (aula rápida sobre o critério de convergência do Gauss–Seidel).
Formulação do Gauss–Seidel. Para um sistema linear A x=b escrevemos a matriz A como
A = D + L + U,
onde D é a matriz diagonal (com os elementos a_{ii}), L é a parte estritamente inferior e U é a parte estritamente superior. O método de Gauss–Seidel usa a iteração
x^{(k+1)} = -(D+L)^{-1}U\,x^{(k)} + (D+L)^{-1}b.
Matriz de iteração e condição necessária/suficiente. A matriz de iteração do Gauss–Seidel é
B_{GS} = -(D+L)^{-1}U.
A iteração converge para a solução do sistema para qualquer aproximação inicial x^{(0)} se, e somente se, o raio espectral da matriz de iteração satisfaz
\rho(B_{GS})<1,
onde \rho(\cdot) é o máximo dos valores absolutos dos autovalores.
Critérios práticos (suficientes) que garantem \rho(B_{GS})<1:
Se A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é, para todo i
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|,
então Gauss–Seidel converge (para qualquer chute inicial).
Se A é simétrica definida positiva, então Gauss–Seidel também converge (para qualquer chute inicial).
Esses são critérios suficientemente fáceis de verificar à mão numa prova.
Passo 3
Agora aplico esses critérios ao A que extraí das equações mostradas. Primeiro escrevo explicitamente a diagonal e as somas das demais entradas por linha:
Linha 1 (equação 1): coeficiente diagonal a_{11}=1. Soma das demais em módulo:
a quarta linha é estritamente dominante, mas isso não basta — é preciso que todas as linhas satisfaçam a desigualdade para garantir convergência por esse critério.
Conclusão parcial: A NÃO é estritamente diagonalmente dominante por linhas (várias linhas falham), portanto não se pode usar esse critério suficiente para garantir convergência de Gauss–Seidel para qualquer aproximação inicial.
Além disso, verifico simetria/definitude: a matriz A não é simétrica porque, por exemplo, a_{12}=-3 e a_{21}=0; portanto não é simétrica definida positiva. Assim, o outro critério (simetria definida positiva) também falha.
Passo 4
Interpretação e resposta definitiva, com justificativa didática:
O fato de não satisfazer nenhum dos critérios suficientes (estrita diagonal dominant por linhas ou simetria definida positiva) significa que NÃO podemos afirmar, à vista dos dados, que o método de Gauss–Seidel vá convergir para a solução a partir de qualquer aproximação inicial. Em termos precisos: a convergência para qualquer chute inicial exige \rho(B_{GS})<1; sem verificar isso (ou sem ter um critério suficiente válido) não se garante convergência universal.
Observação importante (empática e prática): a ausência desses critérios suficientes não implica que o método necessariamente diverge — pode convergir para algumas aproximações iniciais ou após reordenar as equações (permutar linhas/colunas para melhorar a diagonal), ou pode convergir mesmo assim. Mas a pergunta era sobre “para qualquer aproximação inicial?” — e para responder “sim” é preciso uma garantia (como diagonal dominance ou SPD). Aqui essa garantia não existe, então a resposta é negativa.
Se estivesse na prova e quisesse tentar fazer o método funcionar, eu sugeriria: (a) tentar permutar as equações para colocar coeficientes grandes na diagonal e checar se com alguma permutação a diagonal fica estritamente dominante; (b) calcular explicitamente a matriz de iteração B_{GS}=-(D+L)^{-1}U e estimar numericamente \rho(B_{GS}) (isso exige cálculo de autovalores ou aproximação numérica); (c) testar numericamente o método a partir de alguns chutes para ver se converge na prática.
Resposta
Não. Não se pode garantir que o método de Gauss–Seidel converja para qualquer aproximação inicial, porque a matriz de coeficientes
não é estritamente diagonalmente dominante por linhas nem é simétrica definida positiva; portanto os critérios suficientes que asseguram convergência para qualquer chute inicial falham.]