Considere o sistema linear
\left\{\begin{aligned} x_{1}-3 x_{2}+x_{3}-x_{4} & =-1 \\\ x_{2}-2 x_{3} & \\\\ 10 x_{1}+x_{2} & =3 \\\ x_{1} & -x_{3}+3 x_{4} \\\ & =8 \end{aligned}\right.
Podemos determinar a solução aproximada do sistema usando o método de Gauss - Seidel para qualquer aproximação inicial? justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se podemos determinar a solução aproximada do sistema pelo método de Gauss–Seidel para qualquer aproximação inicial e justificar. O sistema dado no enunciado está escrito em LaTeX com quebras, mas dos termos apresentados eu extraio as seguintes equações (peguei os coeficientes das linhas fornecidas; não há indicação de que alguma variável esteja faltando nas linhas internas):
\begin{aligned} x_{1}-3x_{2}+x_{3}-x_{4} &= -1,\\[4pt] x_{2}-2x_{3} &= \text{(RHS não mostrado)},\\[4pt] 10x_{1}+x_{2} &= 3,\\[4pt] x_{1}-x_{3}+3x_{4} &= 8. \end{aligned}ã
Das linhas acima os coeficientes das incógnitas (ignorando o possível valor do segundo membro da segunda equação, que não afeta as condições de convergência do método iterativo) permitem formar a matriz de coeficientes
A= \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 10 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
A pergunta que vou responder é: “o método de Gauss–Seidel converge para a solução do sistema a partir de qualquer aproximação inicial?” (ou seja, converge independentemente do chute inicial).]

Passo 2

Vou explicar o que é preciso checar para responder essa pergunta (aula rápida sobre o critério de convergência do Gauss–Seidel).
  1. Formulação do Gauss–Seidel. Para um sistema linear A x=b escrevemos a matriz A como
A = D + L + U,
onde D é a matriz diagonal (com os elementos a_{ii}), L é a parte estritamente inferior e U é a parte estritamente superior. O método de Gauss–Seidel usa a iteração
x^{(k+1)} = -(D+L)^{-1}U\,x^{(k)} + (D+L)^{-1}b.
  1. Matriz de iteração e condição necessária/suficiente. A matriz de iteração do Gauss–Seidel é
B_{GS} = -(D+L)^{-1}U.
A iteração converge para a solução do sistema para qualquer aproximação inicial x^{(0)} se, e somente se, o raio espectral da matriz de iteração satisfaz
\rho(B_{GS})<1,
onde \rho(\cdot) é o máximo dos valores absolutos dos autovalores.
  1. Critérios práticos (suficientes) que garantem \rho(B_{GS})<1:
  • Se A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é, para todo i
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|,
então Gauss–Seidel converge (para qualquer chute inicial).
  • Se A é simétrica definida positiva, então Gauss–Seidel também converge (para qualquer chute inicial).
    Esses são critérios suficientemente fáceis de verificar à mão numa prova.

Passo 3

Agora aplico esses critérios ao A que extraí das equações mostradas. Primeiro escrevo explicitamente a diagonal e as somas das demais entradas por linha:
Linha 1 (equação 1): coeficiente diagonal a_{11}=1. Soma das demais em módulo:
\sum_{j\ne1}|a_{1j}| = |{-3}|+|1|+|{-1}| = 3+1+1 = 5.
Comparação:
|a_{11}| = 1 \quad\text{versus}\quad \sum_{j\ne1}|a_{1j}| = 5,
logo 1\not>5 — a primeira linha não é estritamente diagonalmente dominante.
Linha 2 (equação 2): a_{22}=1. Soma das demais:
\sum_{j\ne2}|a_{2j}| = |0|+|{-2}|+|0| = 2.
Comparação:
|a_{22}| = 1 \quad\text{versus}\quad 2,
logo 1\not>2 — a segunda linha também não é estritamente dominante.
Linha 3 (equação 3): a_{33}=0. Soma das demais:
\sum_{j\ne3}|a_{3j}| = |10|+|1|+|0| = 11.
Comparação:
|a_{33}| = 0 \quad\text{versus}\quad 11,
logo claramente não dominante.
Linha 4 (equação 4): a_{44}=3. Soma das demais:
\sum_{j\ne4}|a_{4j}| = |1|+|0|+|{-1}| = 1+0+1 = 2.
Comparação:
|a_{44}| = 3 \quad\text{versus}\quad 2,
a quarta linha é estritamente dominante, mas isso não basta — é preciso que todas as linhas satisfaçam a desigualdade para garantir convergência por esse critério.
Conclusão parcial: A NÃO é estritamente diagonalmente dominante por linhas (várias linhas falham), portanto não se pode usar esse critério suficiente para garantir convergência de Gauss–Seidel para qualquer aproximação inicial.
Além disso, verifico simetria/definitude: a matriz A não é simétrica porque, por exemplo, a_{12}=-3 e a_{21}=0; portanto não é simétrica definida positiva. Assim, o outro critério (simetria definida positiva) também falha.

Passo 4

Interpretação e resposta definitiva, com justificativa didática:
  • O fato de não satisfazer nenhum dos critérios suficientes (estrita diagonal dominant por linhas ou simetria definida positiva) significa que NÃO podemos afirmar, à vista dos dados, que o método de Gauss–Seidel vá convergir para a solução a partir de qualquer aproximação inicial. Em termos precisos: a convergência para qualquer chute inicial exige \rho(B_{GS})<1; sem verificar isso (ou sem ter um critério suficiente válido) não se garante convergência universal.
  • Observação importante (empática e prática): a ausência desses critérios suficientes não implica que o método necessariamente diverge — pode convergir para algumas aproximações iniciais ou após reordenar as equações (permutar linhas/colunas para melhorar a diagonal), ou pode convergir mesmo assim. Mas a pergunta era sobre “para qualquer aproximação inicial?” — e para responder “sim” é preciso uma garantia (como diagonal dominance ou SPD). Aqui essa garantia não existe, então a resposta é negativa.
  • Se estivesse na prova e quisesse tentar fazer o método funcionar, eu sugeriria: (a) tentar permutar as equações para colocar coeficientes grandes na diagonal e checar se com alguma permutação a diagonal fica estritamente dominante; (b) calcular explicitamente a matriz de iteração B_{GS}=-(D+L)^{-1}U e estimar numericamente \rho(B_{GS}) (isso exige cálculo de autovalores ou aproximação numérica); (c) testar numericamente o método a partir de alguns chutes para ver se converge na prática.

Resposta

Não. Não se pode garantir que o método de Gauss–Seidel converja para qualquer aproximação inicial, porque a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 10 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}
não é estritamente diagonalmente dominante por linhas nem é simétrica definida positiva; portanto os critérios suficientes que asseguram convergência para qualquer chute inicial falham.]

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