Assinale
ou
quanto à validade da afirmação: “a união de dois subconjuntos L.I. do espaço vetorial
é ainda um conjunto L.I.”.
Passo 1
O enunciado diz para verificar se “a união de dois subconjuntos linearmente independentes de um espaço vetorial é sempre linearmente independente”. O conteúdo aqui é caráter de conjunto linearmente independente e operação de união de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, lembrando a definição: um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é a combinação trivial, isto é, se de
impeça que exista alguma escolha de escalares
diferente de zero.
Passo 3
Para ver que a afirmação é falsa, basta um contraexemplo. Considere o espaço vetorial
e os subconjuntos:
Cada um isoladamente é linearmente independente, pois contém um único vetor não nulo. Mas a união é
Nesse conjunto existe dependência linear, pois podemos escrever
com escalares não todos nulos.
Passo 4
Isso mostra que mesmo juntando dois conjuntos L.I., a união pode falhar em ser L.I. logo a afirmação é falsa.
Resposta
F