Assinale V ou F quanto à validade da afirmação: “a união de dois subconjuntos L.I. do espaço vetorial E é ainda um conjunto L.I.”.

Passo 1

O enunciado diz para verificar se “a união de dois subconjuntos linearmente independentes de um espaço vetorial é sempre linearmente independente”. O conteúdo aqui é caráter de conjunto linearmente independente e operação de união de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, lembrando a definição: um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é a combinação trivial, isto é, se de
alpha1 v1 + alpha2 v2 + cdots + alphak vk = 0
impeça que exista alguma escolha de escalares alphai diferente de zero.

Passo 3

Para ver que a afirmação é falsa, basta um contraexemplo. Considere o espaço vetorial E= R^2 e os subconjuntos:
L1=(1,0), L2=(2,0)
Cada um isoladamente é linearmente independente, pois contém um único vetor não nulo. Mas a união é
L1cup L2=(1,0),(2,0)
Nesse conjunto existe dependência linear, pois podemos escrever
2cdot(1,0) -1cdot(2,0) = (0,0)
com escalares não todos nulos.

Passo 4

Isso mostra que mesmo juntando dois conjuntos L.I., a união pode falhar em ser L.I. logo a afirmação é falsa.

Resposta

F

Exercícios relacionados