Exercício 61:
(i) Seja
um reticulado. Para
mostre que
.
(ii) Seja
um reticulado distributivo. Para
mostre que se
e
então,
.
Se um elemento
for complementado, qual conclusão podemos tirar de (
)?
(i) Seja
(ii) Seja
Se um elemento
Passo 1
A questão está em um reticulado
e pede: (i) provar a desigualdade chamada de mediana
usando só as propriedades de reticulado; (ii) no caso distributivo, mostrar que de
Passo 2
Para (i) lembramos que em qualquer reticulado vale: se
e
então
; e se
e
então
. Note que
Logo
O mesmo argumento serve a
e a
. Finalmente,
Passo 3
Para (ii), agora em reticulado distributivo, usamos absorção e distributividade para mostrar
. De fato,
por distributividade e absorção, e como
pelo primeiro dado,
De modo análogo,
Mas pelo segundo dado
teríamos a mesma expressão para
e para
, portanto
.
Passo 4
Como consequência de (ii), se
é complementado existem
tais que
Pelo item (ii) segue imediatamente
. Ou seja, o complemento de
é único.
Resposta
Em um reticulado distributivo, um elemento complementado possui complemento único.