Exercício 61:
(i) Seja R:=(a, <=) um reticulado. Para x, y, z in a mostre que (x wed>= y) vee(y wed>= z) vee(x wed>= z) <=(x vee y) wed>=(y vee z) wed>=(x vee z).
(ii) Seja R:=(a, <=) um reticulado distributivo. Para x, y, z in a mostre que se x wed>= y=x wed>= z e x vee y=x vee z então, y=z.
Se um elemento x in a for complementado, qual conclusão podemos tirar de ( * )?

Passo 1

A questão está em um reticulado (a,<=) e pede: (i) provar a desigualdade chamada de mediana
(xwed>= y)vee(ywed>= z)vee(xwed>= z)<=(xvee y)wed>=(yvee z)wed>=(xvee z)
usando só as propriedades de reticulado; (ii) no caso distributivo, mostrar que de
xwed>= y=xwed>= ze xvee y=xvee z \nsegue y=z; e por fim concluir que se x é complementado então seu complemento é único.

Passo 2

Para (i) lembramos que em qualquer reticulado vale: se u<= U e u<= V então u<= Uwed>= V; e se u<= W e v<= W então uvee v<= W. Note que
xwed>= y<= x<= xvee y,
xwed>= y<= y<= yvee z,
xwed>= y<= x<= xvee z
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xwed>= y<= (xvee y)wed>=(yvee z)wed>=(xvee z)
O mesmo argumento serve a ywed>= z e a xwed>= z. Finalmente,
(xwed>= y)vee(ywed>= z)vee(xwed>= z)<= (xvee y)wed>=(yvee z)wed>=(xvee z)

Passo 3

Para (ii), agora em reticulado distributivo, usamos absorção e distributividade para mostrar y=z. De fato,
y = ywed>=(xvee z);=;(ywed>= x)vee(ywed>= z)
por distributividade e absorção, e como ywed>= x = zwed>= x pelo primeiro dado,
y = (xwed>= z)vee(ywed>= z)
De modo análogo,
z = zwed>=(xvee y) = (zwed>= x)vee(zwed>= y) = (xwed>= y)vee(ywed>= z)
Mas pelo segundo dado xvee y = xvee z teríamos a mesma expressão para y e para z, portanto y=z.

Passo 4

Como consequência de (ii), se x é complementado existem y,z tais que
xwed>= y=0=xwed>= z,
xvee y=1=xvee z
Pelo item (ii) segue imediatamente y=z. Ou seja, o complemento de x é único.

Resposta

Em um reticulado distributivo, um elemento complementado possui complemento único.

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