Assume that the z=0 plane separates two lossless dielectric regions with \epsilon_{r 1}=2 and \boldsymbol{\epsilon}_{r 2}=3. If we know that \mathbf{E}_{1} in region 1 is \mathbf{a}_{x} 2 y-\mathbf{a}_{y} 3 x+\mathbf{a}_{z}(5+z), what do we also know about \mathbf{E}_{2} and \mathbf{D}_{2} in region 2 ? Can we determine \mathbf{E}_{2} and \mathbf{D}_{2} at any point in region 2? Explain.

Passo 1

O enunciado dá que o plano z=0 separa duas regiões dielétricas sem perdas com constantes relativas \epsilon_{r1}=2 e \epsilon_{r2}=3. Em região 1 sabemos o campo elétrico
\mathbf{E}_1=\mathbf{a}_x\,2y-\mathbf{a}_y\,3x+\mathbf{a}_z\,(5+z).
As perguntas são: (i) o que podemos afirmar sobre \mathbf{E}_2 e \mathbf{D}_2 em região 2 (pelo menos na interface z=0 ou em toda a região)? e (ii) é possível determinar \mathbf{E}_2 e \mathbf{D}_2 em qualquer ponto de região 2 com a informação dada? Explique.

Passo 2

Relembrando as condições usuais na interface entre dois dielétricos (sem cargas livres na interface): \
A) continuidade das componentes tangenciais de \mathbf{E}:
\mathbf{a}_n\times\bigl(\mathbf{E}_2-\mathbf{E}_1\bigr)=\mathbf{0}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{E}_{2t}=\mathbf{E}_{1t},
onde \mathbf{a}_n é o versor normal à superfície (aqui podemos tomar \mathbf{a}_n=\mathbf{a}_z). Expliquei: isso vem de integrar a lei de Faraday em um laço que atravessa a interface; ao fazer o laço infinitesimal a contribuição da derivada temporal do fluxo magnético tende a zero, logo as tangenciais coincidem. \
B) continuidade da componente normal de \mathbf{D} na ausência de carga superficial livre:
\mathbf{a}_n\cdot\bigl(\mathbf{D}_2-\mathbf{D}_1\bigr)=\rho_{s,\text{livre}}=0\quad\Rightarrow\quad \mathbf{D}_{2n}=\mathbf{D}_{1n}.
Expliquei: isso vem da lei de Gauss para \mathbf{D} aplicada a um cilindro-pílula atravessando a superfície. \
Além disso, em cada dielétrico linear e isotrópico vale
\mathbf{D}=\epsilon_0\epsilon_r\,\mathbf{E},
onde \epsilon_0 é a permissividade do vácuo e \epsilon_r a permissividade relativa do material.

Passo 3

Vamos extrair da expressão de \mathbf{E}_1 as componentes tangenciais (no plano z=0) e a componente normal em z=0. Da fórmula dada:
\mathbf{E}_1=\mathbf{a}_x\,2y-\mathbf{a}_y\,3x+\mathbf{a}_z\,(5+z).
Em z=0 a componente tangencial (componentes em x e y) é
\mathbf{E}_{1t}(z=0)=\mathbf{a}_x\,2y-\mathbf{a}_y\,3x,
e a componente normal (em z) é
E_{1n}(z=0)=5.

Passo 4

Pela continuidade tangencial de \mathbf{E} temos, na interface z=0,
\mathbf{E}_{2t}(z=0)=\mathbf{E}_{1t}(z=0)=\mathbf{a}_x\,2y-\mathbf{a}_y\,3x.
Então as componentes x e y de \mathbf{E}_2 na superfície z=0 estão determinadas por essas expressões.

Passo 5

Pela continuidade normal de \mathbf{D} (não há carga livre na interface, enunciado não menciona nenhuma), temos em z=0
D_{2n}(z=0)=D_{1n}(z=0).
Calculemos D_{1n}(z=0). Em região 1 vale \mathbf{D}_1=\epsilon_0\epsilon_{r1}\mathbf{E}_1, então a componente normal em z=0 é
D_{1n}(z=0)=\epsilon_0\epsilon_{r1}E_{1n}(z=0)=\epsilon_0\cdot 2\cdot 5=10\epsilon_0.
Logo
D_{2n}(z=0)=10\epsilon_0.
Agora obtemos a componente normal de \mathbf{E}_2 em z=0 usando \mathbf{D}_2=\epsilon_0\epsilon_{r2}\mathbf{E}_2 em região 2:
E_{2n}(z=0)=\frac{D_{2n}(z=0)}{\epsilon_0\epsilon_{r2}}=\frac{10\epsilon_0}{\epsilon_0\cdot 3}=\frac{10}{3}.

Passo 6

Juntando tangencial e normal na superfície z=0 obtemos \mathbf{E}_2 naquele plano:
\mathbf{E}_2(z=0)=\mathbf{a}_x\,2y-\mathbf{a}_y\,3x+\mathbf{a}_z\,\frac{10}{3}.
Em seguida, \mathbf{D}_2(z=0)=\epsilon_0\epsilon_{r2}\mathbf{E}_2(z=0)
\mathbf{D}_2(z=0)=\epsilon_0\Bigl(6y\,\mathbf{a}_x-9x\,\mathbf{a}_y+10\,\mathbf{a}_z\Bigr).
(Verifique: \epsilon_{r2}=3 multiplicou cada componente de \mathbf{E}_2.)

Passo 7

Agora respondendo se podemos determinar \mathbf{E}_2 e \mathbf{D}_2 em qualquer ponto de região 2 com a informação dada: não, não é possível determinar os campos em toda a região 2 apenas conhecendo \mathbf{E}_1 em região 1 e as constantes \epsilon_{r}. Explico por quê, com um cálculo ilustrativo que também indica a natureza do campo dado. \
Calculemos o rotacional de \mathbf{E}_1 (mostra se o campo é eletrostático ou não):
\nabla\times\mathbf{E}_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{a}_x & \mathbf{a}_y & \mathbf{a}_z\\[2pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\[2pt] 2y & -3x & 5+z \end{vmatrix} = -5\,\mathbf{a}_z.
Ou seja, \nabla\times\mathbf{E}_1\neq\mathbf{0}. Isso indica que o campo não é conservativo (não é um campo eletrostático); em Maxwell completo isso corresponde a um campo elétrico induzido por variação temporal do campo magnético ( \nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t). Para fixar \mathbf{E}_2 em toda a região 2 seria preciso conhecer também: condições de contorno adicionais (por exemplo comportamento no infinito ou em outras superfícies), fontes/curretes e/ou o campo magnético ligado via as equações de Maxwell (ou seja, informação sobre \partial\mathbf{B}/\partial t ou correntes). Sem essas informações a solução no domínio não é determinada unicamente pela única condição na interface. Portanto só podemos afirmar \mathbf{E}_2 e \mathbf{D}_2 na superfície z=0 conforme obtido; no interior de região 2 os campos permanecem indeterminados com os dados fornecidos.]

Resposta

\mathbf{E}_2(z=0)=\mathbf{a}_x\,2y-\mathbf{a}_y\,3x+\mathbf{a}_z\,\dfrac{10}{3}.
\mathbf{D}_2(z=0)=\epsilon_0\bigl(6y\,\mathbf{a}_x-9x\,\mathbf{a}_y+10\,\mathbf{a}_z\bigr).
Não, não é possível determinar \mathbf{E}_2 e \mathbf{D}_2 em qualquer ponto de região 2 apenas com a informação dada; só conhecemos os campos na interface z=0.

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