Hayt: cap. 5: 5.31
  • Próximo ao ponto \mathrm{P}(5,7,-5), a densidade de corrente de condução pode ser representada por
\mathbf{J}=2 x^{3} y \mathbf{a x}-5 x^{2} z^{2} \mathbf{a y}+4 x^{2} y z \mathbf{a z} A / m^{2} .
(a) Qual é a corrente deixando um cubo de 1 m de lado, centrado em P com as arestas paralelas aos eixos coordenados?
(b) Qual é a taxa de variação da densidade volumétrica de carga no ponto P ?
(c) Admitindo-se que a condutividade do meio onde se tem o fluxo de corrente é \sigma=10^{8} \mathrm{~S} / \mathrm{m}, indique a componente do campo elétrico na direção " z ", no ponto em questão.

Passo 1

O enunciado fornece a densidade de corrente de condução próxima ao ponto P(5,7,-5):
\mathbf{J}=2 x^{3} y\,\mathbf{a_x}-5 x^{2} z^{2}\,\mathbf{a_y}+4 x^{2} y z\,\mathbf{a_z}\quad(A/m^{2}).
As perguntas são:
  1. (a) Qual é a corrente saindo de um cubo de aresta 1 m, centrado em P e com arestas paralelas aos eixos coordenados?
  2. (b) Qual é a taxa de variação temporal da densidade volumétrica de carga no ponto P (isto é, \partial \rho/\partial t em P)?
  3. (c) Sabendo que a condutividade do meio é \sigma=10^{8}\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}, qual é a componente z do campo elétrico no ponto P?
Informações geométricas do cubo (retiradas do enunciado): o cubo tem aresta 1 m e está centrado em P(5,7,-5), portanto os limites de integração são
x\in[4{,}5,\,5{,}5],\qquad y\in[6{,}5,\,7{,}5],\qquad z\in[-5{,}5,\,-4{,}5].

Passo 2

Uma ferramenta chave aqui é o divergente de \mathbf{J}. Vou ensinar como calculá-lo passo a passo: o divergente de um campo vetorial \mathbf{J}=J_x\mathbf{a_x}+J_y\mathbf{a_y}+J_z\mathbf{a_z} é a soma das derivadas parciais das componentes:
\nabla\cdot\mathbf{J}=\frac{\partial J_x}{\partial x}+\frac{\partial J_y}{\partial y}+\frac{\partial J_z}{\partial z}.
Cada termo significa: por exemplo, \partial J_x/\partial x é a taxa de variação da componente x da corrente com respeito a x, mantendo y,z fixos. O divergente tem unidade A/m^{3} e mede a “taxa de saída” de corrente por unidade de volume — exatamente o que precisamos para achar a corrente líquida saindo do cubo (via Teorema da divergência).
Agora calculamos as derivadas das componentes dadas:
J_x=2x^{3}y\quad\Rightarrow\quad\frac{\partial J_x}{\partial x}=6x^{2}y,
J_y=-5x^{2}z^{2}\quad\Rightarrow\quad\frac{\partial J_y}{\partial y}=0\quad(\text{não depende de }y),ã
J_z=4x^{2}yz\quad\Rightarrow\quad\frac{\partial J_z}{\partial z}=4x^{2}y.
Somando:
\nabla\cdot\mathbf{J}=6x^{2}y+0+4x^{2}y=10x^{2}y.

Passo 3

Explico o Teorema da divergência (também chamado Teorema de Gauss) de forma simples: a corrente total saindo de uma superfície fechada S que envolve um volume V é igual à integral tripla do divergente sobre o volume:
I_{\text{saindo}}=\iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{J}\,dV.
Aqui queremos a corrente líquida saindo do cubo, então aplicamos o Teorema da divergência com V sendo o cubo de aresta 1 m centrado em P. Como já achamos \nabla\cdot\mathbf{J}=10x^{2}y, a corrente é a integral tripla dessa função sobre o cubo:
I=\iiint_{V}10x^{2}y\,dV.
Como a função separa em x e y e o intervalo de z tem comprimento 1, podemos escrever:
I=10\left(\int_{x=4{,}5}^{5{,}5}x^{2}\,dx\right)\left(\int_{y=6{,}5}^{7{,}5}y\,dy\right)\left(\int_{z=-5{,}5}^{-4{,}5}dz\right).

Passo 4

Calculamos cada integral em detalhe (para você poder reproduzir na prova sem calculadora, mostro passo a passo com frações):
Primeiro,
\int_{x=4{,}5}^{5{,}5}x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{4{,}5}^{5{,}5}=\frac{5{,}5^{3}-4{,}5^{3}}{3}.
Usando frações exatas 5{,}5=\tfrac{11}{2} e 4{,}5=\tfrac{9}{2}:
5{,}5^{3}=\left(\frac{11}{2}\right)^{3}=\frac{1331}{8},\qquad 4{,}5^{3}=\left(\frac{9}{2}\right)^{3}=\frac{729}{8}.
Então
\int_{4{,}5}^{5{,}5}x^{2}\,dx=\frac{1}{3}\left(\frac{1331-729}{8}\right)=\frac{602}{24}=\frac{301}{12}.
Segundo,
\int_{y=6{,}5}^{7{,}5}y\,dy=\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{6{,}5}^{7{,}5}=\frac{7{,}5^{2}-6{,}5^{2}}{2}=\frac{56{,}25-42{,}25}{2}=\frac{14}{2}=7.
Terceiro,
\int_{z=-5{,}5}^{-4{,}5}dz=(-4{,}5)-(-5{,}5)=1.

Passo 5

Agora combinamos os resultados para obter a corrente total:
I=10\cdot\frac{301}{12}\cdot 7\cdot 1.
Multiplicando:
\frac{301}{12}\cdot 7=\frac{2107}{12},
10\cdot\frac{2107}{12}=\frac{21070}{12}=\frac{10535}{6}.
Em forma decimal,
I=\frac{10535}{6}\\ \mathrm{A}\approx 1755{,}833333\\ \mathrm{A}.
Interpretação física rápida e incentivo: isso é a corrente líquida saindo do cubo — dá uma ideia de quanto carga por segundo está sendo “expulsada” do volume. Você está indo bem, segure firme!

Passo 6

Para a parte (b) usamos a equação de continuidade (lei da conservação de carga elétrica): em forma local ela é
\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0,
onde \rho é a densidade volumétrica de carga ( \mathrm{C/m^{3}}). Rearranjando,
\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\nabla\cdot\mathbf{J}.
Já calculamos \nabla\cdot\mathbf{J}=10x^{2}y. Avaliando em P(5,7,-5):
\nabla\cdot\mathbf{J}\big|_{P}=10\cdot 5^{2}\cdot 7=10\cdot 25\cdot 7=1750\quad(A/m^{3}).
Portanto, a taxa de variação temporal da densidade de carga no ponto P é
\frac{\partial \rho}{\partial t}\Big|_{P}=-1750\quad\mathrm{C\,m^{-3}s^{-1}}.
(Fica negativo: significa que a densidade de carga está diminuindo naquele ponto porque a corrente está saindo.)

Passo 7

Para a parte (c) aplicamos a lei de Ohm local em meios óhmicos isotrópicos: \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}, onde \sigma é a condutividade ( \mathrm{S/m} ou \mathrm{A/(V\,m)}), \mathbf{E} é o campo elétrico ( \mathrm{V/m}) e \mathbf{J} é a densidade de corrente ( \mathrm{A/m^{2}}). Assim
\mathbf{E}=\frac{\mathbf{J}}{\sigma}.
Queremos a componente z em P. Primeiro obtemos J_z em P:
J_z=4x^{2}yz\quad\Rightarrow\quad J_z\big|_{P}=4\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot (-5)=4\cdot 25\cdot 7\cdot(-5).
Calculando:
4\cdot 25=100,\qquad 100\cdot 7=700,\qquad 700\cdot(-5)=-3500.
Portanto J_z(P)=-3500\\ \mathrm{A/m^{2}}. Dividindo por \sigma=10^{8}\\ \mathrm{S/m} obtemos
E_z(P)=\frac{J_z(P)}{\sigma}=\frac{-3500}{10^{8}}=-3{,}5\times 10^{-5}\\ \mathrm{V\,m^{-1}}.

Resposta

\displaystyle \frac{10535}{6}\\ \mathrm{A}
\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}\Big|_{P}=-1750\\ \mathrm{C\,m^{-3}s^{-1}}
\displaystyle E_z(P)=-3{,}5\times 10^{-5}\\ \mathrm{V\,m^{-1}}

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