Próximo ao ponto \mathrm{P}(5,7,-5), a densidade de corrente de condução pode ser representada por
\mathbf{J}=2 x^{3} y \mathbf{a x}-5 x^{2} z^{2} \mathbf{a y}+4 x^{2} y z \mathbf{a z} A / m^{2} .
(a) Qual é a corrente deixando um cubo de 1 m de lado, centrado em P com as arestas paralelas aos eixos coordenados?
(b) Qual é a taxa de variação da densidade volumétrica de carga no ponto P ?
(c) Admitindo-se que a condutividade do meio onde se tem o fluxo de corrente é \sigma=10^{8} \mathrm{~S} / \mathrm{m}, indique a componente do campo elétrico na direção " z ", no ponto em questão.
Passo 1
O enunciado fornece a densidade de corrente de condução próxima ao ponto P(5,7,-5):
\mathbf{J}=2 x^{3} y\,\mathbf{a_x}-5 x^{2} z^{2}\,\mathbf{a_y}+4 x^{2} y z\,\mathbf{a_z}\quad(A/m^{2}).
As perguntas são:
(a) Qual é a corrente saindo de um cubo de aresta 1 m, centrado em P e com arestas paralelas aos eixos coordenados?
(b) Qual é a taxa de variação temporal da densidade volumétrica de carga no ponto P (isto é, \partial \rho/\partial t em P)?
(c) Sabendo que a condutividade do meio é \sigma=10^{8}\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}, qual é a componente z do campo elétrico no ponto P?
Informações geométricas do cubo (retiradas do enunciado): o cubo tem aresta 1 m e está centrado em P(5,7,-5), portanto os limites de integração são
Uma ferramenta chave aqui é o divergente de \mathbf{J}. Vou ensinar como calculá-lo passo a passo: o divergente de um campo vetorial \mathbf{J}=J_x\mathbf{a_x}+J_y\mathbf{a_y}+J_z\mathbf{a_z} é a soma das derivadas parciais das componentes:
Cada termo significa: por exemplo, \partial J_x/\partial x é a taxa de variação da componente x da corrente com respeito a x, mantendo y,z fixos. O divergente tem unidade A/m^{3} e mede a “taxa de saída” de corrente por unidade de volume — exatamente o que precisamos para achar a corrente líquida saindo do cubo (via Teorema da divergência).
Agora calculamos as derivadas das componentes dadas:
Explico o Teorema da divergência (também chamado Teorema de Gauss) de forma simples: a corrente total saindo de uma superfície fechada S que envolve um volume V é igual à integral tripla do divergente sobre o volume:
Aqui queremos a corrente líquida saindo do cubo, então aplicamos o Teorema da divergência com V sendo o cubo de aresta 1 m centrado em P. Como já achamos \nabla\cdot\mathbf{J}=10x^{2}y, a corrente é a integral tripla dessa função sobre o cubo:
I=\iiint_{V}10x^{2}y\,dV.
Como a função separa em x e y e o intervalo de z tem comprimento 1, podemos escrever:
Interpretação física rápida e incentivo: isso é a corrente líquida saindo do cubo — dá uma ideia de quanto carga por segundo está sendo “expulsada” do volume. Você está indo bem, segure firme!
Passo 6
Para a parte (b) usamos a equação de continuidade (lei da conservação de carga elétrica): em forma local ela é
(Fica negativo: significa que a densidade de carga está diminuindo naquele ponto porque a corrente está saindo.)
Passo 7
Para a parte (c) aplicamos a lei de Ohm local em meios óhmicos isotrópicos: \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}, onde \sigma é a condutividade (\mathrm{S/m} ou \mathrm{A/(V\,m)}), \mathbf{E} é o campo elétrico (\mathrm{V/m}) e \mathbf{J} é a densidade de corrente (\mathrm{A/m^{2}}). Assim
\mathbf{E}=\frac{\mathbf{J}}{\sigma}.
Queremos a componente z em P. Primeiro obtemos J_z em P: