Assumindo conhecido o limite fundamental trigonométrico lim x 0 sen xx=1, calcular os seguintes limites:
b) lim n infty n sen 4n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite . Isso está dentro do tópico de Cálculo de Limites, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas e limites no infinito. Para resolver isso, vamos usar o limite fundamental trigonométrico que sabemos que .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no que temos: . Queremos relacionar isso com o limite fundamental que conhecemos. Para isso, vamos reescrever a expressão de uma forma que fique mais parecida com .

Passo 3

Vamos chamar a fração dentro do seno de , ou seja, . Assim, quando vai para o infinito, vai para zero, o que é bom porque nosso limite fundamental lida com tendendo a zero.

Passo 4

Expressando n cdot sin(4n) = 4x cdot sin(x) em termos de , temos . Agora, substituímos isso na expressão original:

Passo 5

Agora temos 4 cdot sin(x)x . Podemos separar o 4 e reescrever isso como:

Passo 6

Agora, nosso limite fica:
limx 0 4 cdot sin(x)x
Dado que , podemos substituir esse valor.

Passo 7

Portanto:
limx 0 4 cdot sin(x)x = 4 cdot 1 = 4

Resposta

O limite é igual a 4.

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