Assumindo conhecido o limite fundamental trigonométrico
, calcular os seguintes limites:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite
. Isso está dentro do tópico de Cálculo de Limites, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas e limites no infinito. Para resolver isso, vamos usar o limite fundamental trigonométrico que sabemos que
.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no que temos:
. Queremos relacionar isso com o limite fundamental que conhecemos. Para isso, vamos reescrever a expressão de uma forma que fique mais parecida com
.
Passo 3
Vamos chamar a fração dentro do seno de
, ou seja,
. Assim, quando
vai para o infinito,
vai para zero, o que é bom porque nosso limite fundamental lida com
tendendo a zero.
Passo 4
Expressando
em termos de
, temos
. Agora, substituímos isso na expressão original:
Passo 5
Agora temos
. Podemos separar o 4 e reescrever isso como:
Passo 6
Agora, nosso limite fica:
Dado que
, podemos substituir esse valor.
Passo 7
Portanto:
Resposta
O limite
é igual a 4.