Assumindo conhecido o limite fundamental trigonométrico lim x 0 sen xx=1, calcular os seguintes limites:
e) lim n infty n tg 2n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . A matéria que vamos usar aqui envolve limites e trigonometria, especialmente a relação fundamental . Vamos precisar entender como a tangente se comporta quando seu ângulo fica bem pequeno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com quando cresce sem parar. Conforme vai para o infinito, se aproxima de 0. Então, nosso limite fica do tipo se fizermos a substituição .

Passo 3

Sabemos que . Vamos reescrever a expressão original usando isso:

Passo 4

Agora, substituímos n cdot sen xcos x = sen xx cdot 2cos x . Assim, nossa expressão fica:
Porque implica que .

Passo 5

Vamos calcular o limite separadamente. Sabemos que:
E também que:
limx 0 sen xx = 1
Então, substituindo esses limites na expressão:

Resposta

O limite é igual a .

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