Assumindo que a construção acarretará na imposição de uma mesma sobrecarga ( \Delta \sigma=50 \mathrm{kPa} ) em todas as áreas, ao mesmo tempo, avalie os itens a seguir. Considerar \gamma_{\text { - }} igual a 10 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}.
2.4 ( 16 \% ) O cronograma da obra indica que 6 meses após o lançamento da sobrecarga de 50 kPa será lançado uma nova sobrecarga de 100 kPa na área A. Com base nessas informações, qual será a tensão efetiva ( \sigma^{*} ) no centro da camada da área A 12 meses após o início da obra.
Resposta:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Foi imposta uma sobrecarga inicial de \Delta\sigma=50\\ \mathrm{kPa} em todas as áreas, ao mesmo tempo (tempo t=0).
  • Na área A, após 6 meses (ou seja, em t=6\\ \text{meses}), será aplicada uma nova sobrecarga adicional de 100\\ \mathrm{kPa}.
  • Foi dada a grandeza \gamma_{\text{ - }}=10\\ \mathrm{kN/m^3} (anotada pelo enunciado).
  • A pergunta: qual será a tensão efetiva \sigma^{*} no centro da camada da área A quando tiver passado 12 meses desde o início da obra (ou seja, t=12\\ \text{meses}, que corresponde a 12 meses após a primeira sobrecarga e 6 meses após a segunda)?
Informações que o enunciado NÃO fornece (mas que são, em geral, necessárias para obter um valor numérico de \sigma^{*}):
  • profundidade do “centro da camada” ou espessura da camada (logo: profundidade z do ponto onde se quer \sigma^{*});
  • condições de drenagem da camada (drenagem simples, dupla, caminho de drenagem H);
  • coeficiente de consolidação c_v da camada (necessário para estimar a dissipação de pressões de poro ao longo do tempo);
  • tensão inicial total \sigma e pressão de poros inicial u nesse ponto (ou a tensão efetiva inicial \sigma'_0);
  • se a sobrecarga é aplicada uniformemente numa área muito maior que a profundidade considerada (ou se é um carregamento localizado — isto afeta o fator de influência para calcular o incremento de tensão total com a profundidade).
Sem alguns (ou todos) desses dados não é possível apresentar um valor numérico de \sigma^{*} no tempo pedido.

Passo 2

Conceito e fórmula básica que vamos usar (a “aula curta” que você pediu):
  • A tensão efetiva vertical no ponto é dada por
\sigma'=\sigma-u,
onde:
  • \sigma é a tensão vertical total naquele ponto (peso próprio + incrementos de carga transmitidos),
  • u é a pressão de poros no mesmo ponto.
  • Quando se aplica uma sobrecarga superficial, ela gera um incremento de tensão total \Delta\sigma no solo em profundidade; a fração desse incremento que aparece, inicialmente, como aumento de pressão de poro (excesso de pressão \Delta u) depende das condições de drenagem no instante da aplicação. Em suspensão (condição praticamente não drenada, logo após a aplicação) tipicamente a maior parte do incremento aparece como \Delta u; com o tempo esse excesso de pressão se dissipa (consolida) e aumenta a tensão efetiva.
  • Para cargas sequenciais (aqui: 50 kPa em t=0 e 100 kPa em t=6\\ \text{meses}), podemos usar superposição temporal: cada carga gera um excesso inicial de poro e esse excesso decai com o tempo segundo a teoria de consolidação. O excesso de pressão total num tempo qualquer é soma dos excessos residuais de cada carga.

Passo 3

Como calcular, em termos gerais (passo a passo metodológico que você aplicaria na prova se tivesse os dados):
  1. Calcular incremento de tensão total no ponto devido a cada sobrecarga aplicada. Para isso precisa do fator de influência I(z) ou, em casos de prova simplificados, pode-se assumir que a sobrecarga superficial é transmitida integralmente ( I\approx1) se a área carregada for muito grande em relação à profundidade do ponto. Denotemos:
\Delta\sigma_1=\text{incremento total devido à primeira carga }(50\\ \mathrm{kPa}),à
\Delta\sigma_2=\text{incremento total devido à segunda carga }(100\\ \mathrm{kPa}).à
Normalmente \Delta\sigma_1=50\cdot I_1 e \Delta\sigma_2=100\cdot I_2, onde I_1,I_2 dependem de profundidade e geometria do carregamento.
  1. Determinar o excesso de pressão de poro inicial gerado por cada carga no momento imediato da sua aplicação. Para uma camada saturada com comportamento praticamente não drenado imediatamente após a aplicação, o excesso inicial costuma ser igual ao incremento de tensão total:
\Delta u_{1,\text{init}}=\Delta\sigma_1,\qquad \text{(no instante logo após aplicação da 1ª carga)}óçãª
\Delta u_{2,\text{init}}=\Delta\sigma_2,\qquad \text{(logo após a 2ª carga)}óª
(se houver algum escoamento instantâneo, estes valores seriam menores — por isso é importante saber as condições).
  1. Fazer a dissipação temporal (consolidação). Para cada carga aplicada, o excesso de pressão residual em um tempo t depois da aplicação é dado por
\Delta u_i(t)=\Delta u_{i,\text{init}}\cdot\big(1-U_i(t)\big),
onde U_i(t) é o grau de consolidação alcançado para a carga i no tempo decorrido desde que essa carga foi aplicada até o instante que se quer avaliar. O grau de consolidação U depende do fator de tempo adimensional
T_v=\frac{c_v\,t}{H^2},
onde:
  • c_v é o coeficiente de consolidação vertical (m^2/s ou m^2/month conforme unidade de tempo),
  • H é o caminho de drenagem (metade da espessura se drenagem dupla, toda a espessura se drenagem simples).
    Uma expressão clássica (solução de séries de Terzaghi, drenagem dupla) para U é:
U=1-\sum_{m=0}^{\infty}\frac{8}{(2m+1)^2\pi^2}\exp\big(- (2m+1)^2\pi^2 T_v\big).
Na prática usa-se as primeiras parcelas da série ou os valores tabelados/curvas (por exemplo: U\approx0{,}5 quando T_v\approx0{,}197; U\approx0{,}9 quando T_v\approx0{,}848).
  1. Soma das contribuições para obter excesso de poro total no instante de interesse:
\Delta u_{\text{total}}(t)=\Delta u_1(t)+\Delta u_2(t).
  1. Finalmente, a tensão efetiva no instante t é
\sigma'(t)=\sigma'_0 + \Delta\sigma_1 + \Delta\sigma_2 - \Delta u_{\text{total}}(t),
ou, se preferir em termos de totais,
\sigma'(t)=\big(\sigma_0-u_0\big) + (\Delta\sigma_1+\Delta\sigma_2) - \Delta u_{\text{total}}(t).
Aqui \sigma'_0 é a tensão efetiva inicial no ponto antes das cargas (ou \sigma_0 e u_0 separados).

Passo 4

Aplicação temporal específica ao problema (o raciocínio que você faria com os números certos):
  • A primeira carga 50\\ \mathrm{kPa} foi aplicada em t=0. No instante t=12\\ \text{meses} essa carga já age há 12 meses, logo para a carga 1 devemos usar t_1=12\\ \text{meses} no cálculo de U_1.
  • A segunda carga 100\\ \mathrm{kPa} foi aplicada em t=6\\ \text{meses}. No instante t=12\\ \text{meses} essa carga age há 6 meses, logo para a carga 2 usamos t_2=6\\ \text{meses} no cálculo de U_2.
  • Para cada carga: calcular T_{v1}=\dfrac{c_v\cdot t_1}{H^2} e T_{v2}=\dfrac{c_v\cdot t_2}{H^2}, obter U_1(U(T_{v1})) e U_2(U(T_{v2})) e então \Delta u_1(t)=\Delta u_{1,\text{init}}(1-U_1) e \Delta u_2(t)=\Delta u_{2,\text{init}}(1-U_2).
  • Somar excessos residuais e aplicar a fórmula de \sigma'(t) do Passo 3.
Observação prática de prova: muitas questões de prova fornecem c_v, espessura da camada e pedem exatamente o cálculo de U e \sigma'. Sem esses dados não se consegue número.

Passo 5

Lista explícita dos dados que eu precisaria para calcular numericamente \sigma^{*} e que faltam no enunciado que você me mandou:
  • profundidade do ponto (ou espessura da camada e indicar onde fica o “centro da camada”), para obter o incremento de tensão total com profundidade (ou o fator de influência I(z));
  • condição de drenagem (simples/dupla) para estabelecer H;
  • coeficiente de consolidação c_v da camada (ou curvas/tabelas que relacionem T_v a U);
  • tensão efetiva inicial \sigma'_0 no centro da camada (ou \sigma_0 e u_0);
  • esclarecimento sobre o significado exato de \gamma_{\text{ - }}=10\\ \mathrm{kN/m^3} no enunciado (parece ser o peso específico eficaz/submerso \gamma', mas isso precisa estar claro).
Se você puder me passar esses dados (espessura da camada e profundidade do centro, c_v, condição de drenagem e a tensão inicial ou a pressão de poros inicial), eu cálculo passo a passo e te entrego o número pedido. Se preferir, também posso mostrar um exemplo numérico hipotético para fixar a técnica.

Resposta

Não é possível determinar numericamente \sigma^{*} no centro da camada da área A aos 12 meses com os dados fornecidos, porque faltam informações essenciais: profundidade/espessura da camada (para calcular o incremento de tensão com a profundidade), condição de drenagem e caminho de drenagem H, coeficiente de consolidação c_v (necessário para calcular a dissipação de pressões de poro) e a tensão efetiva inicial \sigma'_0 (ou \sigma_0 e u_0).

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