T1 , até 0,5 na P1
Nome: DRE: Turma: TQ 10-12
A probabilidade de um componente eletrônico de um computador falhar ( F) antes de 1000 horas de funcionamento é: 0,04, se for da marca A1; 0,06, se for da marca A2; e 0,10, se for da marca A3. Numa loja de manutenção, 20% dos componentes em estoque são da marca A1, 30% da marca A2 e 50% da marca A3. Um componente é escolhido ao acaso para o conserto de um computador. Determine a probabilidade:
(b) P(A1 mid F), que o componente selecionado a posteriori, isto é, sabendo que o componente falhou seja da marca A1;

Passo 1

Vamos resumir o que a questão nos pede e identificar o conteúdo que vamos usar. A questão fala sobre a probabilidade de um componente eletrônico falhar antes de 1000 horas, dependendo da marca dele. Temos três marcas: A1, A2 e A3. Também sabemos a proporção de cada marca no estoque da loja. Precisamos calcular a probabilidade de que, dado que o componente falhou, ele seja da marca A1, ou seja, P(A1 mid F).
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar probabilidades condicionais, especialmente quando temos informações adicionais, como no caso de saber que o componente falhou.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as probabilidades que temos:
  • Probabilidade de falha dado que o componente é da marca A1: P(F mid A1) = 0,04
  • Probabilidade de falha dado que o componente é da marca A2: P(F mid A2) = 0,06
  • Probabilidade de falha dado que o componente é da marca A3: P(F mid A3) = 0,10
Também sabemos a distribuição das marcas no estoque:
  • Probabilidade de escolher um componente da marca A1: P(A1) = 0,20
  • Probabilidade de escolher um componente da marca A2: P(A2) = 0,30
  • Probabilidade de escolher um componente da marca A3: P(A3) = 0,50

Passo 3

Para encontrar P(A1 mid F), usaremos o Teorema de Bayes, que é dado por:
P(A1 mid F) = P(F mid A1) cdot P(A1)P(F)
Aqui, precisamos calcular P(F), que é a probabilidade total de falha, levando em conta todas as marcas. Isso pode ser obtido pela regra da probabilidade total:
P(F) = P(F mid A1) cdot P(A1) + P(F mid A2) cdot P(A2) + P(F mid A3) cdot P(A3)

Passo 4

Vamos calcular P(F) substituindo os valores que temos:
P(F) = (0,04 times 0,20) + (0,06 times 0,30) + (0,10 times 0,50)
P(F) = 0,008 + 0,018 + 0,05 = 0,076
Então, P(F) = 0,076

Passo 5

Agora que temos P(F), podemos usar o Teorema de Bayes para encontrar P(A1 mid F):
P(A1 mid F) = 0,04 times 0,200,076 = 0,0080,076 approx 0,1053

Resposta

A probabilidade de que o componente selecionado, sabendo que ele falhou, seja da marca A1 é aproximadamente 10,53%.

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