T1 , até 0,5 na P1
Nome: DRE: Turma: TQ 10-12
A probabilidade de um componente eletrônico de um computador falhar ( F) antes de 1000 horas de funcionamento é: 0,04, se for da marca A1; 0,06, se for da marca A2; e 0,10, se for da marca A3. Numa loja de manutenção, 20% dos componentes em estoque são da marca A1, 30% da marca A2 e 50% da marca A3. Um componente é escolhido ao acaso para o conserto de um computador. Determine a probabilidade:
© P(A2 mid F) e P(A3 mid F). Comente as mudanças das probabilidades a posteriori comparada com a priori.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem três marcas de componentes eletrônicos: A1, A2 e A3. Cada uma tem uma certa probabilidade de falhar antes de 1000 horas:
  • P(F mid A1) = 0,04
  • P(F mid A2) = 0,06
  • P(F mid A3) = 0,10
Além disso, na loja, a distribuição das marcas é:
  • P(A1) = 0,20
  • P(A2) = 0,30
  • P(A3) = 0,50
A gente quer encontrar as probabilidades de a peça ser da marca A2 e A3, dado que ela falhou, ou seja, P(A2 mid F) e P(A3 mid F). Vamos usar a Teorema de Bayes pra isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a probabilidade total de falha, P(F). Isso é feito somando as probabilidades de falha de cada marca multiplicadas pela probabilidade de escolher cada marca:
P(F) = P(F mid A1)P(A1) + P(F mid A2)P(A2) + P(F mid A3)P(A3)
Substituindo os valores:
P(F) = (0,04 times 0,20) + (0,06 times 0,30) + (0,10 times 0,50) = 0,008 + 0,018 + 0,05 = 0,076

Passo 3

Agora, vamos calcular P(A2 mid F) usando a Teorema de Bayes:
P(A2 mid F) = P(F mid A2)P(A2)P(F)
Substituindo os valores:
P(A2 mid F) = 0,06 times 0,300,076 = 0,0180,076 approx 0,2368 ou 23,68%

Passo 4

Da mesma forma, calculamos P(A3 mid F):
P(A3 mid F) = P(F mid A3)P(A3)P(F)
Substituindo os valores:
P(A3 mid F) = 0,10 times 0,500,076 = 0,050,076 approx 0,6579 ou 65,79%

Resposta

P(A2 mid F) approx 23,68% e P(A3 mid F) approx 65,79%. Isso mostra que, após observar a falha, a probabilidade de a peça ser da marca A3 aumentou comparada à probabilidade inicial de 50%, enquanto a de ser A2 também aumentou de 30% para aproximadamente 23,68%.

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