Um aterro com teor de umidade igual a 15,8 \%, com volume de 30 \mathrm{~m}^{3} deverá ser compactado com umidade de 18,5 \% de modo a garantir as características de projeto. Calcule o volume de água a ser acrescentado ao terreno para que esta condição se verifique.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados numéricos que temos):
  • Teor de umidade inicial: w_1 = 15{,}8\%.
  • Teor de umidade desejado: w_2 = 18{,}5\%.
  • Volume do aterro (volume total de solo considerado): V = 30\\ \mathrm{m}^3.
O que se pede: calcular o volume de água a ser acrescentado ao terreno para que o teor de umidade passe de w_1 para w_2.

Passo 2

Interpretação e escolha do método (por que escolho este caminho).
  • Existem duas formas comuns de usar “teor de umidade”: (A) teor volumétrico, que mede o volume de água em relação ao volume total do solo, e (B) teor gravimétrico, que mede a massa da água em relação à massa de sólidos secos.
  • Se o enunciado usar a definição gravimétrica, precisaríamos da massa de solo seco (ou da densidade seca) para calcular a massa de água adicional; como o enunciado só dá o volume ( V) e não dá densidade seca nem massa, não há informação suficiente para o método gravimétrico.
  • Portanto, a única forma de resolver com os dados fornecidos é interpretar os teores w_1 e w_2 como teores volumétricos (fração do volume total que é água). Com essa interpretação dá para calcular diretamente o volume de água inicial e final e, daí, o volume a acrescentar.
Agora a fórmula e o raciocínio (explicando cada símbolo):
  • Seja V o volume total do aterro (em \mathrm{m}^3).
  • Seja w o teor de umidade volumétrico expresso em porcentagem. A fração volumétrica de água é \dfrac{w}{100}.
  • O volume de água correspondente a um teor w é
V_w=\frac{w}{100}\,V.
  • Assim, o volume de água a acrescentar é a diferença entre o volume de água no estado final e no estado inicial:
\Delta V = V_{w2}-V_{w1}=\left(\frac{w_2}{100}-\frac{w_1}{100}\right)V=\frac{w_2-w_1}{100}\,V.

Passo 3

Calcular o volume de água inicial usando a fórmula. Substituindo w_1=15{,}8\% e V=30\\ \mathrm{m}^3:
V_{w1}=\frac{15{,}8}{100}\times 30 = 0{,}158\times 30 = 4{,}74\\ \mathrm{m}^3.

Passo 4

Calcular o volume de água final desejado usando w_2=18{,}5\%:
V_{w2}=\frac{18{,}5}{100}\times 30 = 0{,}185\times 30 = 5{,}55\\ \mathrm{m}^3.

Passo 5

Calcular o volume de água a acrescentar:
\Delta V = V_{w2}-V_{w1} = 5{,}55 - 4{,}74 = 0{,}81\\ \mathrm{m}^3.
Converter para litros (opcional, para ter uma ideia prática): 0{,}81\\ \mathrm{m}^3 = 0{,}81\times 1000 = 810\\ \mathrm{L}.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (como reconhecer e proceder):
  • Sempre verifique se o teor dado é volumétrico ou gravimétrico. Se for gravimétrico e der apenas volume, peça ou procure a densidade seca; sem ela não dá para converter massa ↔ volume.
  • Fórmula geral no caso gravimétrico: se w é gravimétrico ( w=M_w/M_s), o volume de água a acrescentar seria \Delta V = \dfrac{(w_2-w_1)M_s}{\rho_w}, onde M_s é a massa de sólidos secos e \rho_w a densidade da água (aprox. 1000\\ \mathrm{kg/m}^3). Para obter M_s a partir do volume usa-se a densidade seca: M_s=\rho_{\mathrm{seca}}\,V.

Resposta

0,81\\ \mathrm{m}^3 = 810\\ \mathrm{L}

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