De um corte são removidos 180.000 \mathrm{~m}^{3} de solo, com um índice de vazios igual a 1,22 . Quantos \mathrm{m}^{3} de aterro poderão ser construídos, com um índice de vazios igual a 0,76 ?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi removido do corte um volume de solo V_1 = 180{.}000\\ \mathrm{m}^3 (esse é o volume solto do material retirado).
  • O índice de vazios no estado de corte é e_1 = 1{,}22.
  • O solo será usado para aterro com índice de vazios e_2 = 0{,}76.
  • Pergunta: qual será o volume total de aterro V_2 que se pode construir com esse solo?

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): índice de vazios e.
  • Definição: o índice de vazios e é a razão entre o volume de vazios V_v e o volume de sólidos V_s:
e=\frac{V_v}{V_s}.
  • O volume total V do solo é soma de sólidos e vazios:
V=V_s+V_v=V_s(1+e).
  • Dessa relação isolamos o volume de sólidos:
V_s=\frac{V}{1+e}.
Observação prática para a prova: os sólidos não se perdem quando se transporta o solo (assume-se que não houve perda de material nem adição de outro material). Portanto o volume de sólidos V_s do solo retirado é igual ao volume de sólidos do aterro final.

Passo 3

Calcular o volume de sólidos V_s presente nos 180{.}000\\ \mathrm{m}^3 retirados.
  • Usando a fórmula V_s=\dfrac{V}{1+e} com V=V_1 e e=e_1:
V_s=\frac{V_1}{1+e_1}.
  • Substituindo números:
1+e_1=1+1{,}22=2{,}22, \qquad V_s=\frac{180{.}000}{2{,}22}.
  • Para facilitar a conta podemos transformar em fração: 2{,}22=\dfrac{222}{100}, então
V_s=180000\cdot\frac{100}{222}=\frac{18{.}000{.}000}{222}=\frac{3{.}000{.}000}{37}.
  • Valor numérico (divisão longa ou calculadora conceitual na prova):
V_s\approx 81.081{,}081081\\ \mathrm{m}^3.

Passo 4

Calcular o volume final de aterro V_2 a partir do mesmo volume de sólidos V_s e do índice de vazios e_2.
  • Relação direta: V_2=V_s(1+e_2).
  • Substituindo V_s=\dfrac{V_1}{1+e_1} obtemos uma fórmula prática para a prova:
V_2 = V_1\cdot\frac{1+e_2}{1+e_1}.
  • Agora substituir os valores:
1+e_2=1+0{,}76=1{,}76,\qquad 1+e_1=2{,}22,
V_2=180{.}000\cdot\frac{1{,}76}{2{,}22}.
  • Simplificando frações decimais: 1{,}76=\dfrac{176}{100} e 2{,}22=\dfrac{222}{100}, então a razão é
\frac{1{,}76}{2{,}22}=\frac{176}{222}=\frac{88}{111}.
  • Portanto
V_2=180{.}000\cdot\frac{88}{111}=\frac{15{.}840{.}000}{111}\approx 142.702{,}702702\\ \mathrm{m}^3.
  • Interpretação rápida: o volume diminui (de 180{.}000 para cerca de 142{.}703 mil m^3) porque o índice de vazios menor indica compactação e menos vazios no solo final.

Passo 5

Resumo prático (fórmula de memorização para a prova):
  • Se transferir solo sem perda, o volume que se pode construir ao compactar é
V_2=V_1\cdot\frac{1+e_2}{1+e_1}.
  • Neste exercício obteve-se V_2\approx 142.702{,}70\\ \mathrm{m}^3. Força aí — essa é a conta típica que costuma cair em provas de mecânica dos solos / obras civis.

Resposta

142702{,}70\\ \mathrm{m}^3

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