Em uma área de empréstimo são escavados 600.000 \mathrm{~m}^{3} de solo, o qual tem no campo um índice de vazios de 1,5 . Considerar Gs =2,7 \mathrm{e} \gamma_{\mathrm{w}}=10 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}.
a. Qual será o volume correspondente de aterro compactado, se o índice de vazios especificado para o aterro for de 0,65.
b. Sabendo-se que o teor de umidade no empréstimo é de 3 \%, e que o aterro depois de pronto terá uma umidade de 10 \%, calcule o volume d’água que deverá ser adicionado ao material escavado.

Passo 1

Vou listar claramente os dados que o enunciado dá e o que é pedido.
  • Volume escavado (em empréstimo): V_{\text{esc}} = 600{.}000\\ \mathrm{m}^3.
  • Índice de vazios no empréstimo: e_{\text{esc}} = 1,5.
  • Índice de vazios especificado para o aterro (compactado): e_{\text{ter}} = 0,65.
  • Gravidade específica dos sólidos: G_s = 2,7.
  • Peso específico da água: \gamma_{\mathrm{w}} = 10\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.
  • Teor de umidade no empréstimo: w_{\text{esc}} = 3\% = 0,03.
  • Teor de umidade no aterro pronto: w_{\text{ter}} = 10\% = 0,10.
O enunciado pede:
a) O volume correspondente de aterro compactado.
b) O volume de água que deverá ser adicionado ao material escavado (para passar de w_{\text{esc}} para w_{\text{ter}}).

Passo 2

Entender o conceito de índice de vazios e a conservação do volume de sólidos.
  • Definição: o índice de vazios e é a razão entre o volume de vazios V_v e o volume de sólidos V_s:
e=\frac{V_v}{V_s}.
  • O volume total V é a soma V=V_s+V_v=V_s(1+e).
Como o volume de sólidos V_s do material não muda quando se desloca do empréstimo para o aterro (assumindo que não há perda de sólidos), temos:
V_{\text{esc}} = V_s(1+e_{\text{esc}}) \quad\Rightarrow\quad V_s=\frac{V_{\text{esc}}}{1+e_{\text{esc}}}.
O volume do aterro compactado será
V_{\text{ter}} = V_s(1+e_{\text{ter}}).
Substituindo V_s obtemos a relação direta
V_{\text{ter}} = V_{\text{esc}}\cdot\frac{1+e_{\text{ter}}}{1+e_{\text{esc}}}.
Agora calculamos numericamente:
\frac{1+e_{\text{ter}}}{1+e_{\text{esc}}}=\frac{1+0,65}{1+1,5}=\frac{1,65}{2,5}=0,66.
Portanto
V_{\text{ter}}=600{.}000\cdot 0,66=396{.}000\\ \mathrm{m}^3.

Passo 3

Cálculo do volume de água a ser adicionado — conceito de teor de umidade e manipulação conveniente usando pesos/volumes.
  • Definição de teor de umidade: w é a razão entre a massa (ou peso) da água e a massa (ou peso) dos sólidos:
w=\frac{M_{\text{água}}}{M_s}=\frac{W_{\text{água}}}{W_s}.áá
Aqui M é massa e W é peso; a razão é a mesma, então podemos trabalhar com pesos (kN) sem usar g.
  • Peso dos sólidos W_s pode ser expresso através do volume de sólidos V_s e do peso específico dos sólidos \gamma_s. O peso específico dos sólidos é
\gamma_s = G_s\cdot \gamma_{\mathrm{w}}.
Logo
W_s=\gamma_s\\ V_s = G_s\\ \gamma_{\mathrm{w}}\\ V_s.
  • Peso de água inicial e final:
W_{\text{água, i}} = w_{\text{esc}}\\ W_s,\qquad W_{\text{água, f}} = w_{\text{ter}}\\ W_s.áá
Água adicional em peso:
\Delta W_{\text{água}} = W_{\text{água, f}}-W_{\text{água, i}} = (w_{\text{ter}}-w_{\text{esc}})\,W_s.ááá
Convertendo esse peso adicional em volume de água usamos \gamma_{\mathrm{w}} (peso por volume da água):
V_{\text{água}}=\frac{\Delta W_{\text{água}}}{\gamma_{\mathrm{w}}}=\frac{(w_{\text{ter}}-w_{\text{esc}})\,W_s}{\gamma_{\mathrm{w}}}.áá
Substituindo W_s=G_s\\ \gamma_{\mathrm{w}}\\ V_s nota-se que \gamma_{\mathrm{w}} cancela:
V_{\text{água}} = G_s\\ V_s\\ (w_{\text{ter}}-w_{\text{esc}}).á
Isto é uma fórmula prática e elegante: o volume de água necessário depende diretamente do volume de sólidos V_s, de G_s e da variação de teor de umidade.

Passo 4

Aplicar valores numéricos e concluir.
Primeiro calculamos o volume de sólidos V_s a partir do empréstimo:
V_s=\frac{V_{\text{esc}}}{1+e_{\text{esc}}}=\frac{600{.}000}{1+1,5}=\frac{600{.}000}{2,5}=240{.}000\\ \mathrm{m}^3.
Agora aplicamos a fórmula do passo anterior com \Delta w = w_{\text{ter}}-w_{\text{esc}} = 0,10-0,03=0,07:
V_{\text{água}} = G_s\\ V_s\\ (w_{\text{ter}}-w_{\text{esc}})=2{,}7\cdot 240{.}000\cdot 0{,}07.á
Calcule:
240{.}000\cdot 0{,}07=16{.}800, \qquad 2{,}7\cdot 16{.}800 = 45{.}360\\ \mathrm{m}^3.
Interpretação rápida: são 45{.}360\\ \mathrm{m}^3 de água a serem adicionados ao material escavado para que o teor suba de 3\% para 10\%, assumindo que não há perda de água durante transporte e compactação.

Resposta

V_{\text{aterro}} = 396{.}000\\ \mathrm{m}^3
V_{\text{água}} = 45{.}360\\ \mathrm{m}^3á

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