Atıvidade em Sala:
Dadas as distribuições das variáveis independentes
e
:
1
0,2
2
0,2
3
0,6
0
0,2
1
0,4
2
0,4
a) Construa a tabela da distribuição conjunta de (
);
b) Sendo
construa a tabela da distribuição de
;
c) Calcular
e
, usando a distribuição de
.
|
|
|
| 1 | 0,2 |
| 2 | 0,2 |
| 3 | 0,6 |
|
|
|
| 0 | 0,2 |
| 1 | 0,4 |
| 2 | 0,4 |
b) Sendo
c) Calcular
Passo 1
Vou traduzir com calma o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
- São dadas as distribuições marginais de duas variáveis aleatórias discretas independentes. Peguei os números do enunciado:
- Para
: - Para
:
- Para
- O enunciado pede três coisas:
a) construir a tabela da distribuição conjunta de;
b) definire construir a tabela (pmf) da distribuição de ;
c) calculare , usando a distribuição de .
Passo 2
Explicar e usar a independência para obter a distribuição conjunta (a parte didática).
- Conceito chave: se
e são independentes, então para qualquer Isso significa que a probabilidade do par é o produto das probabilidades marginais. - Vamos calcular todos os produtos (cada linha é um valor de
, cada coluna um valor de ). Peguei os números das marginais (Passo 1).
Cálculos (cada produto é feito explicitamente):
- Verificação rápida (sanidade): somando todas as probabilidades da tabela:
então está consistente.
Passo 3
Construir a tabela da distribuição de
(parte didática sobre transformação de variáveis discretas).
- Ideia:
é uma função de . Para variáveis discretas, para cada par calculamos e transferimos a probabilidade para o valor . Se vários pares gerarem o mesmo , somamos as probabilidades desses pares. - Primeiro, calculo
para cada par e anexo a probabilidade (usei as probabilidades da tabela conjunta do Passo 2).
Para
:
Para
:
Para
:
- Observação: aqui nenhum valor de
foi gerado por mais de um par ; portanto a probabilidade de cada é exatamente a probabilidade do par correspondente.
Assim a distribuição de
(pmf) é:
Verificação rápida: soma das probabilidades
.
Passo 4
Calcular
usando a distribuição de
(aulas prática sobre esperança).
- Fórmula para esperança de variável discreta: se
toma valores com probabilidades , então Aqui são os valores listados no passo anterior e . - Faço cada termo e a soma (cada produto mostrado):
Somando todos os termos:
Passo 5
Calcular
usando a distribuição de
(aula prática sobre variância).
- Fórmula usada:
, onde - Calculo
para cada valor e somo:
Somando:
Agora a variância:
Calculo do quadrado:
Logo
Passo 6
Cheque rápido e comentário motivador (validação e dica de prova).
- Como checagem mental rápida: pela linearidade da esperança, seria esperado
. Se calcular e a partir das marginais dá o mesmo (confirmação). Para variância, por independência vale , que também deve coincidir numericamente com . Isso serve como verificação — mas a exigência do enunciado era usar a distribuição de , que foi o que foi feito nos Passos 4–5. - Você tirou de letra — ou está quase lá! Refaça cada multiplicação na prova com calma e anote os termos na coluna para evitar erros de soma.
Resposta
a)
b)
c)