Atıvidade em Sala:

Dadas as distribuições das variáveis independentes X e Y :
X P(X)
1 0,2
2 0,2
3 0,6
Y P(Y)
0 0,2
1 0,4
2 0,4
a) Construa a tabela da distribuição conjunta de ( X, Y );
b) Sendo Z=3 X+Y construa a tabela da distribuição de Z;
c) Calcular E(Z) e \operatorname{VAR}(Z), usando a distribuição de Z.

Passo 1

Vou traduzir com calma o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • São dadas as distribuições marginais de duas variáveis aleatórias discretas independentes. Peguei os números do enunciado:
    • Para X: P(X=1)=0,2,\qquad P(X=2)=0,2,\qquad P(X=3)=0,6.
    • Para Y: P(Y=0)=0,2,\qquad P(Y=1)=0,4,\qquad P(Y=2)=0,4.
  • O enunciado pede três coisas:
    a) construir a tabela da distribuição conjunta de (X,Y);
    b) definir Z=3X+Y e construir a tabela (pmf) da distribuição de Z;
    c) calcular E(Z) e \operatorname{VAR}(Z), usando a distribuição de Z.

Passo 2

Explicar e usar a independência para obter a distribuição conjunta (a parte didática).
  • Conceito chave: se X e Y são independentes, então para qualquer x,y P(X=x,Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y).Isso significa que a probabilidade do par (x,y) é o produto das probabilidades marginais.
  • Vamos calcular todos os produtos (cada linha é um valor de X, cada coluna um valor de Y). Peguei os números das marginais (Passo 1).
Cálculos (cada produto é feito explicitamente):
\begin{aligned} P(X=1,Y=0)&=P(X=1)P(Y=0)=0,2\cdot0,2=0,04,\\\ P(X=1,Y=1)&=0,2\cdot0,4=0,08,\\\ P(X=1,Y=2)&=0,2\cdot0,4=0,08. \end{aligned}
\begin{aligned} P(X=2,Y=0)&=0,2\cdot0,2=0,04,\\\ P(X=2,Y=1)&=0,2\cdot0,4=0,08,\\\ P(X=2,Y=2)&=0,2\cdot0,4=0,08. \end{aligned}
\begin{aligned} P(X=3,Y=0)&=0,6\cdot0,2=0,12,\\\ P(X=3,Y=1)&=0,6\cdot0,4=0,24,\\\ P(X=3,Y=2)&=0,6\cdot0,4=0,24. \end{aligned}
  • Verificação rápida (sanidade): somando todas as probabilidades da tabela: 0,04+0,08+0,08+0,04+0,08+0,08+0,12+0,24+0,24=1,00,então está consistente.

Passo 3

Construir a tabela da distribuição de Z=3X+Y (parte didática sobre transformação de variáveis discretas).
  • Ideia: Z é uma função de (X,Y). Para variáveis discretas, para cada par (x,y) calculamos z=3x+y e transferimos a probabilidade P(X=x,Y=y) para o valor z. Se vários pares gerarem o mesmo z, somamos as probabilidades desses pares.
  • Primeiro, calculo z para cada par e anexo a probabilidade (usei as probabilidades da tabela conjunta do Passo 2).
Para X=1:
\begin{aligned} (1,0)&\mapsto z=3\cdot1+0=3,\quad P=0,04,\\\ (1,1)&\mapsto z=3\cdot1+1=4,\quad P=0,08,\\\ (1,2)&\mapsto z=3\cdot1+2=5,\quad P=0,08. \end{aligned}
Para X=2:
\begin{aligned} (2,0)&\mapsto z=3\cdot2+0=6,\quad P=0,04,\\\ (2,1)&\mapsto z=3\cdot2+1=7,\quad P=0,08,\\\ (2,2)&\mapsto z=3\cdot2+2=8,\quad P=0,08. \end{aligned}
Para X=3:
\begin{aligned} (3,0)&\mapsto z=3\cdot3+0=9,\quad P=0,12,\\\ (3,1)&\mapsto z=3\cdot3+1=10,\quad P=0,24,\\\ (3,2)&\mapsto z=3\cdot3+2=11,\quad P=0,24. \end{aligned}
  • Observação: aqui nenhum valor de z foi gerado por mais de um par (x,y); portanto a probabilidade de cada z é exatamente a probabilidade do par correspondente.
Assim a distribuição de Z (pmf) é:
\begin{aligned} P(Z=3)&=0,04,\\\ P(Z=4)&=0,08,\\\ P(Z=5)&=0,08,\\\ P(Z=6)&=0,04,\\\ P(Z=7)&=0,08,\\\ P(Z=8)&=0,08,\\\ P(Z=9)&=0,12,\\\ P(Z=10)&=0,24,\\\ P(Z=11)&=0,24. \end{aligned}
Verificação rápida: soma das probabilidades =1,00.

Passo 4

Calcular E(Z) usando a distribuição de Z (aulas prática sobre esperança).
  • Fórmula para esperança de variável discreta: se Z toma valores z_i com probabilidades p_i, então E(Z)=\sum_i z_i p_i.Aqui z_i são os valores listados no passo anterior e p_i=P(Z=z_i).
  • Faço cada termo e a soma (cada produto mostrado):
\begin{aligned} 3\cdot0,04&=0,12,\\\\ 4\cdot0,08&=0,32,\\\\ 5\cdot0,08&=0,40,\\\\ 6\cdot0,04&=0,24,\\\\ 7\cdot0,08&=0,56,\\\\ 8\cdot0,08&=0,64,\\\\ 9\cdot0,12&=1,08,\\\\ 10\cdot0,24&=2,40,\\\\ 11\cdot0,24&=2,64. \end{aligned}
Somando todos os termos:
E(Z)=0,12+0,32+0,40+0,24+0,56+0,64+1,08+2,40+2,64=8,40.

Passo 5

Calcular \operatorname{VAR}(Z) usando a distribuição de Z (aula prática sobre variância).
  • Fórmula usada: \operatorname{VAR}(Z)=E(Z^2)-\bigl(E(Z)\bigr)^2, onde E(Z^2)=\sum_i z_i^2 p_i.
  • Calculo z_i^2 p_i para cada valor e somo:
\begin{aligned} 3^2\cdot0,04&=9\cdot0,04=0,36,\\\\ 4^2\cdot0,08&=16\cdot0,08=1,28,\\\\ 5^2\cdot0,08&=25\cdot0,08=2,00,\\\\ 6^2\cdot0,04&=36\cdot0,04=1,44,\\\\ 7^2\cdot0,08&=49\cdot0,08=3,92,\\\\ 8^2\cdot0,08&=64\cdot0,08=5,12,\\\\ 9^2\cdot0,12&=81\cdot0,12=9,72,\\\\ 10^2\cdot0,24&=100\cdot0,24=24,00,\\\\ 11^2\cdot0,24&=121\cdot0,24=29,04. \end{aligned}
Somando:
E(Z^2)=0,36+1,28+2,00+1,44+3,92+5,12+9,72+24,00+29,04=76,88.
Agora a variância:
\operatorname{VAR}(Z)=E(Z^2)-\bigl(E(Z)\bigr)^2=76,88-(8,40)^2.
Calculo do quadrado:
(8,40)^2=70,56.
Logo
\operatorname{VAR}(Z)=76,88-70,56=6,32.

Passo 6

Cheque rápido e comentário motivador (validação e dica de prova).
  • Como checagem mental rápida: pela linearidade da esperança, seria esperado E(Z)=3E(X)+E(Y). Se calcular E(X) e E(Y) a partir das marginais dá o mesmo 8,40 (confirmação). Para variância, por independência vale \operatorname{VAR}(Z)=9\operatorname{VAR}(X)+\operatorname{VAR}(Y), que também deve coincidir numericamente com 6,32. Isso serve como verificação — mas a exigência do enunciado era usar a distribuição de Z, que foi o que foi feito nos Passos 4–5.
  • Você tirou de letra — ou está quase lá! Refaça cada multiplicação na prova com calma e anote os termos na coluna para evitar erros de soma.

Resposta

a) P(X=1,Y=0)=0,04,\;P(X=1,Y=1)=0,08,\;P(X=1,Y=2)=0,08,\;P(X=2,Y=0)=0,04,\;P(X=2,Y=1)=0,08,\;P(X=2,Y=2)=0,08,\;P(X=3,Y=0)=0,12,\;P(X=3,Y=1)=0,24,\;P(X=3,Y=2)=0,24.
b) P(Z=3)=0,04,\;P(Z=4)=0,08,\;P(Z=5)=0,08,\;P(Z=6)=0,04,\;P(Z=7)=0,08,\;P(Z=8)=0,08,\;P(Z=9)=0,12,\;P(Z=10)=0,24,\;P(Z=11)=0,24.
c) E(Z)=8,40
\operatorname{VAR}(Z)=6,32

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