Resíduos orgânicos
têm média 30 e desvio padrão 5. O contrato de compostagem cobra
. Encontre a média e o desvio padrão de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Dado: a variável aleatória
(resíduos orgânicos, em kg) tem média e desvio padrão . - Dado: a nova variável é definida por
. - Pedidos: encontrar (1) a média de
e (2) o desvio padrão de .
Passo 2
Entendendo a média (esperança) de uma transformação linear: para qualquer constante
e
e qualquer variável aleatória
com esperança
, vale a propriedade de linearidade da esperança:
Explicando por que isso é verdade, de forma simples: a esperança é uma média ponderada; ao multiplicar
por
todas as realizações são escaladas por
(logo a média escala por
) e ao somar
acrescenta-se
a cada realização (logo a média soma
).
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso com
,
e
:
Faço a conta passo a passo:
logo
Passo 4
Agora sobre dispersão: primeiro definimos variância. A variância de
é
e o desvio padrão é
.
Para uma transformação linear
temos, ao substituir,
Elevando ao quadrado e tomando esperança:
Isto mostra que o termo constante
não altera a variância (só desloca a média) e que a escala
multiplica a variância por
. Portanto o desvio padrão satisfaz
No nosso caso
, então
.
Passo 5
Calculemos numericamente: como
, tem-se
Como checagem alternativa via variância:
, então
e
. Ambos dão o mesmo resultado.
Passo 6
Resumo prático (para a prova): sempre que aparecer
,
- calcule a média com
, - calcule o desvio padrão com
.
Aqui os cálculos já foram feitos acima.
Resposta
Média de
:
Desvio padrão de :
Desvio padrão de