Resíduos orgânicos X(\mathrm{~kg}) têm média 30 e desvio padrão 5. O contrato de compostagem cobra Y=1.8 X+150. Encontre a média e o desvio padrão de Y.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Dado: a variável aleatória \,X (resíduos orgânicos, em kg) tem média \mu_X=30 e desvio padrão \sigma_X=5.
  • Dado: a nova variável é definida por \;Y=1,8\,X+150.
  • Pedidos: encontrar (1) a média de \,Y e (2) o desvio padrão de \,Y.

Passo 2

Entendendo a média (esperança) de uma transformação linear: para qualquer constante a e b e qualquer variável aleatória X com esperança E[X], vale a propriedade de linearidade da esperança:
E[aX+b]=a\,E[X]+b.
Explicando por que isso é verdade, de forma simples: a esperança é uma média ponderada; ao multiplicar X por a todas as realizações são escaladas por a (logo a média escala por a) e ao somar b acrescenta-se b a cada realização (logo a média soma b).

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso com a=1,8, b=150 e E[X]=\mu_X=30:
E[Y]=1,8\cdot E[X]+150=1,8\cdot 30 + 150.
Faço a conta passo a passo:
1,8\cdot 30 = 54,
logo
E[Y]=54+150=204.

Passo 4

Agora sobre dispersão: primeiro definimos variância. A variância de X é
\mathrm{Var}(X)=E\big[(X-E[X])^{2}\big],
e o desvio padrão é \sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}.
Para uma transformação linear Y=aX+b temos, ao substituir,
Y-E[Y]=aX+b-(aE[X]+b)=a\bigl(X-E[X]\bigr).
Elevando ao quadrado e tomando esperança:
\mathrm{Var}(Y)=E\big[(Y-E[Y])^{2}\big]=E\big[a^{2}(X-E[X])^{2}\big]=a^{2}E\big[(X-E[X])^{2}\big]=a^{2}\mathrm{Var}(X).
Isto mostra que o termo constante b não altera a variância (só desloca a média) e que a escala a multiplica a variância por a^{2}. Portanto o desvio padrão satisfaz
\sigma_Y=|a|\,\sigma_X.
No nosso caso a=1,8>0, então \sigma_Y=1,8\,\sigma_X.

Passo 5

Calculemos numericamente: como \sigma_X=5, tem-se
\sigma_Y=1,8\cdot 5 = 9.
Como checagem alternativa via variância: \mathrm{Var}(X)=5^{2}=25, então
\mathrm{Var}(Y)=1,8^{2}\cdot 25=3,24\cdot 25=81,
e \sigma_Y=\sqrt{81}=9. Ambos dão o mesmo resultado.

Passo 6

Resumo prático (para a prova): sempre que aparecer Y=aX+b,
  • calcule a média com \;E[Y]=aE[X]+b,
  • calcule o desvio padrão com \;\sigma_Y=|a|\,\sigma_X.
    Aqui os cálculos já foram feitos acima.

Resposta

Média de Y: 204
Desvio padrão de Y: 9

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