Uma atleta de 50 kg em uma posição completamente estendida, com um raio de giro total em relação ao seu eixo principal transversal igual a 0,45 \mathrm{~m}, deixa o trampolim com uma velocidade angular de 6 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Qual é a velocidade angular da mergulhadora quando ela adota uma posição grupada, reduzindo seu raio de giro para 0,25 \mathrm{~m} ? (Resposta: 19,4 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ) (pág. 568)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a velocidade angular final da mergulhadora:
\text{massa: } m = 50\\ \text{kg}
\text{raio de giro inicial: } r_i = 0,45\\ \text{m}
\text{velocidade angular inicial: } \omega_i = 6\\ \text{rad/s}
\text{raio de giro final (posi\c{c}\~ao grupada): } r_f = 0,25\\ \text{m}
Pergunta: qual é a velocidade angular final \omega_f quando ela passa para a posição grupada?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): o momento angular de um corpo em rota\c{c}~ao é dado por
L = I\omega,
onde:
  • L é o momento angular (medido em \mathrm{kg\cdot m^2/s}),
  • I é o momento de inércia da massa em relação ao eixo de rotação (medido em \mathrm{kg\cdot m^2}),
  • \omega é a velocidade angular (medida em \mathrm{rad/s}).\n
    Explicando I: para uma partícula de massa m localizada a uma distância r do eixo, o momento de inércia é
I = m r^2.
No caso de uma pessoa isso é uma aproximação (tratamos a massa concentrada a uma distância característica r do eixo). Essa aproximação é a que normalmente se usa em questões de física introdutória e é suficiente para a prova.

Passo 3

Princípio físico usado: na ausência de torque externo significativo durante o salto, o momento angular total é conservado. Ou seja,
L_i = L_f.
Substituindo L = I\omega e usando I = m r^2, temos
I_i \omega_i = I_f \omega_f
m r_i^2 \omega_i = m r_f^2 \omega_f.
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por m (massa não muda), obtendo
r_i^2 \omega_i = r_f^2 \omega_f.
Agora isolamos \omega_f:
\omega_f = \omega_i \frac{r_i^2}{r_f^2}.
Expliquei cada passo algébrico: multiplicação, divisão por m, e isolamento da incógnita \omega_f.

Passo 4

Agora calculamos numericamente. Primeiro calculemos os quadrados dos raios:
r_i^2 = (0,45)^2 = 0,2025\\ \text{m}^2,
r_f^2 = (0,25)^2 = 0,0625\\ \text{m}^2.
Calculamos a razão:
\frac{r_i^2}{r_f^2} = \frac{0,2025}{0,0625} = 3,24.
Então
\omega_f = \omega_i \cdot 3,24 = 6 \cdot 3,24 = 19,44\\ \text{rad/s}.
Arredondando com duas casas significativas compatíveis com os dados (por exemplo), obtemos \,19,4\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Interpretação rápida e observação prática: ao reduzir o raio de giro a mergulhadora diminui seu momento de inércia e, pela conservação do momento angular, sua velocidade angular aumenta. Nossa aproximação tratou a atleta como massa concentrada a distância r; no mundo real a distribuição de massa é mais complexa, mas esse cálculo capta corretamente o efeito e coincide com a resposta fornecida.

Resposta

\,19,4\\ \mathrm{rad/s}

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