A perna a seguir apresenta as seguintes características:
(em relação ao centro de massa, que está na metade da perna);
(comprimento da perna);
Calcule o TORQUE necessário na articulação para esse movimento ocorrer. (sugiro o uso das equações de equilíbrio rotacional, para a solução do problema)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o torque necessário na articulação (no quadril) para que a perna execute o movimento dado. Dados fornecidos (vou listá-los exatamente como o enunciado deu):
O que deve ser calculado: o torque (momento) na articulação que produz esse movimento, considerando as contribuições dinâmicas e a gravidade.
Passo 2
Escolha do método (explicação curta e honesta do porquê): usamos as equações do equilíbrio rotacional (segunda lei de Newton para rotação) em relação ao pivô (articulação). A equação fundamental que vamos usar é:
onde
é o momento de inércia da perna em relação ao pivô (articulação) e
é a soma dos momentos (torques) externos em torno desse ponto. Aqui os torques externos importantes são:
- o torque muscular que queremos encontrar (chamarei de
); - o torque devido ao peso da perna (força peso agindo no centro de massa, gerando um momento
).
Portanto a equação escalar de momentos, tomando o sentido positivo do torque que produz, fica
Vou explicar e calcular cada termo passo a passo. (Se você preferir, podemos mudar convenção de sinais, mas aqui quero o valor do torque muscular necessário, então vou isolar
.)
Passo 3
Precisamos de
(momento de inércia em torno do pivô). Foi dado
relativo ao centro de massa, mas falta a massa
para aplicar o teorema dos eixos paralelos. Vou estimar a massa assumindo que a perna se comporta como uma haste uniforme (isso é justificável para exercícios deste tipo; se o enunciado quisesse outra distribuição de massa teria fornecido
ou
). Para uma barra uniforme de comprimento
,
Isolando
:
Agora substituo os números dados:
Ou seja,
. (Isto é uma massa plausível para uma perna humana aproximada.)
Passo 4
Aplicar o teorema dos eixos paralelos para obter
. O centro de massa está na metade da perna, então a distância do pivô até o CM é
. O teorema dos eixos paralelos:
Substituindo valores:
Calculo passo a passo:
logo
Observação agradável: deu exatamente
dentro do arredondamento — fica fácil de calcular adiante.
Passo 5
Calcula-se o termo inercial (torque necessário para gerar a aceleração angular):
Substituindo:
Explicação didática: esse termo vem da resistência da massa distribuída a mudar sua velocidade angular; é análogo a
na translação, mas para rotação.
Passo 6
Calcula-se o torque devido ao peso (momento do peso em relação ao pivô). A força peso
age no centro de massa, a uma distância
do pivô. O braço perpendicular ao pivô é
. Assim:
Substituindo valores e lembrando que
:
Calculemos em etapas:
Interpretação: esse torque tende a fazer a perna girar para baixo (no sentido da gravidade). Para acelerar a perna no sentido positivo de
, o músculo precisa vencer esse torque além do termo inercial.
Passo 7
Agora somo os dois termos conforme a equação do Passo 2 e isolo
:
Substituindo os valores já calculados:
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas além da unidade), temos
.