A perna a seguir apresenta as seguintes características:
\theta=60^{\circ} ; \omega=5 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ; \alpha=200 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}
\mathrm{I}=0,25 \mathrm{kgm}^{2} (em relação ao centro de massa, que está na metade da perna);
\mathrm{L}=0,6 \mathrm{~m} (comprimento da perna);
Calcule o TORQUE necessário na articulação para esse movimento ocorrer. (sugiro o uso das equações de equilíbrio rotacional, para a solução do problema)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o torque necessário na articulação (no quadril) para que a perna execute o movimento dado. Dados fornecidos (vou listá-los exatamente como o enunciado deu):
\theta=60^\circ,\qquad \omega=5\\ \mathrm{rad/s},\qquad \alpha=200\\ \mathrm{rad/s^2},
I_{\text{cm}}=0,25\\ \mathrm{kg\;m^2}\\ \text{(momento de inércia em relação ao centro de massa, que está no meio da perna)},éçãá
L=0,6\\ \mathrm{m}.
O que deve ser calculado: o torque (momento) na articulação que produz esse movimento, considerando as contribuições dinâmicas e a gravidade.

Passo 2

Escolha do método (explicação curta e honesta do porquê): usamos as equações do equilíbrio rotacional (segunda lei de Newton para rotação) em relação ao pivô (articulação). A equação fundamental que vamos usar é:
\sum M_O = I_O\,\alpha,
onde I_O é o momento de inércia da perna em relação ao pivô (articulação) e \sum M_O é a soma dos momentos (torques) externos em torno desse ponto. Aqui os torques externos importantes são:
  • o torque muscular que queremos encontrar (chamarei de \tau);
  • o torque devido ao peso da perna (força peso agindo no centro de massa, gerando um momento m g (L/2)\sin\theta).
    Portanto a equação escalar de momentos, tomando o sentido positivo do torque que produz \alpha, fica
\tau - m g \frac{L}{2}\sin\theta = I_O\,\alpha.
Vou explicar e calcular cada termo passo a passo. (Se você preferir, podemos mudar convenção de sinais, mas aqui quero o valor do torque muscular necessário, então vou isolar \tau.)

Passo 3

Precisamos de I_O (momento de inércia em torno do pivô). Foi dado I_{\text{cm}}=0,25\\ \mathrm{kg\;m^2} relativo ao centro de massa, mas falta a massa m para aplicar o teorema dos eixos paralelos. Vou estimar a massa assumindo que a perna se comporta como uma haste uniforme (isso é justificável para exercícios deste tipo; se o enunciado quisesse outra distribuição de massa teria fornecido m ou I_O). Para uma barra uniforme de comprimento L,
I_{\text{cm}}=\frac{1}{12}mL^2.
Isolando m:
m=\frac{12 I_{\text{cm}}}{L^2}.
Agora substituo os números dados:
m=\frac{12\cdot 0,25}{(0,6)^2}=\frac{3}{0,36}=8,\overline{3}\\ \mathrm{kg}.
Ou seja, m\approx 8,33\\ \mathrm{kg}. (Isto é uma massa plausível para uma perna humana aproximada.)

Passo 4

Aplicar o teorema dos eixos paralelos para obter I_O. O centro de massa está na metade da perna, então a distância do pivô até o CM é d=\dfrac{L}{2}=0,3\\ \mathrm{m}. O teorema dos eixos paralelos:
I_O=I_{\text{cm}}+m d^2.
Substituindo valores:
I_O=0,25 + 8,33\cdot(0,3)^2.
Calculo passo a passo:
(0,3)^2=0,09,\qquad 8,33\cdot 0,09\approx 0,75,
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I_O\approx 0,25+0,75=1,00\\ \mathrm{kg\;m^2}.
Observação agradável: deu exatamente 1,00\\ \mathrm{kg\;m^2} dentro do arredondamento — fica fácil de calcular adiante.

Passo 5

Calcula-se o termo inercial (torque necessário para gerar a aceleração angular):
\tau_{\text{inércia}}=I_O\,\alpha.é
Substituindo:
\tau_{\text{inércia}}=1,00\cdot 200 = 200\\ \mathrm{N\cdot m}.é
Explicação didática: esse termo vem da resistência da massa distribuída a mudar sua velocidade angular; é análogo a F=ma na translação, mas para rotação.

Passo 6

Calcula-se o torque devido ao peso (momento do peso em relação ao pivô). A força peso mg age no centro de massa, a uma distância L/2 do pivô. O braço perpendicular ao pivô é (L/2)\sin\theta. Assim:
\tau_g = m g \frac{L}{2}\sin\theta.
Substituindo valores e lembrando que \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}:
\tau_g \approx 8,33\cdot 9,81\cdot 0,3\cdot \sin 60^\circ.
Calculemos em etapas:
8,33\cdot 9,81\approx 81,75,
81,75\cdot 0,3=24,525,
\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254,
\tau_g\approx 24,525\cdot 0,8660254\approx 21,24\\ \mathrm{N\cdot m}.
Interpretação: esse torque tende a fazer a perna girar para baixo (no sentido da gravidade). Para acelerar a perna no sentido positivo de \alpha, o músculo precisa vencer esse torque além do termo inercial.

Passo 7

Agora somo os dois termos conforme a equação do Passo 2 e isolo \tau:
\tau = I_O\,\alpha + m g \frac{L}{2}\sin\theta.
Substituindo os valores já calculados:
\tau \approx 200 + 21,24 = 221,24\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas além da unidade), temos \tau\approx 221,2\\ \mathrm{N\cdot m}.

Resposta

221,2\\ \mathrm{N\cdot m}

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