Um átomo de hidrogênio no estado excitado emite radiação ao retornar ao estado fundamental. Essa emissão ocorre em duas etapas, com o átomo emitindo inicialmente um fóton com comprimento de onda de 486 nm (transição \boldsymbol{n}=4 para \boldsymbol{n}=2 ) e, em seguida, um fóton de comprimento de onda 656 nm (transição \boldsymbol{n}=3 para \boldsymbol{n}= 2).
a) Calcule a energia dos fótons emitidos em cada uma das transições.
b) Sabendo que a energia do átomo de hidrogênio no estado fundamental é E=-13,6 \mathrm{eV}, determine a energia dos estados excitados \boldsymbol{n}=2, \boldsymbol{n}=3, e \boldsymbol{n}=4 em elétron-volts ( eV ).
c) Verifique se a soma das energias dos fótons emitidos corresponde à diferença de energia entre os estados n= 4 e n=2

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • Dados fornecidos:
    • Um fóton com comprimento de onda \lambda_1 = 486\\ \mathrm{nm} associado à transição \,n=4\to n=2.
    • Um fóton com comprimento de onda \lambda_2 = 656\\ \mathrm{nm} associado à transição \,n=3\to n=2.
    • Energia do estado fundamental: E_{n=1}=-13,6\\ \mathrm{eV}.
  • Perguntas:
    (a) Calcular a energia dos fótons emitidos em cada transição.
    (b) Determinar as energias dos estados excitados n=2,\;n=3,\;n=4 em eV.
    (c) Verificar se a soma das energias dos fótons emitidos corresponde à diferença de energia entre os estados n=4 e n=2.

Passo 2

Converter comprimento de onda em energia do fóton: fórmula e explicação.
  • Fórmula básica: a energia de um fóton é dada por
E = \frac{hc}{\lambda},
onde:
  • E é a energia do fóton,
  • h é a constante de Planck ( h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}),
  • c é a velocidade da luz no vácuo ( c=2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}),
  • \lambda é o comprimento de onda em metros.
  • Como queremos E em elétron-volts ( \mathrm{eV}) e \lambda em nanômetros ( \mathrm{nm}), é muito prático usar o valor aproximado combinado
hc \approx 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
Esse número vem de converter hc (em J·m) para \mathrm{eV\cdot nm} usando 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} e 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}. Assim, para \lambda em \mathrm{nm}:
E(\text{eV}) \approx \frac{1240}{\lambda(\text{nm})}.

Passo 3

Calcular as energias dos fótons (parte a), passo a passo.
  • Para \lambda_1=486\\ \mathrm{nm}:
E_1 \approx \frac{1240}{486}\\ \mathrm{eV} = 2,551\ldots\\ \mathrm{eV}.
Arredondando razoavelmente:
E_1 \approx 2,55\\ \mathrm{eV}.
  • Para \lambda_2=656\\ \mathrm{nm}:
E_2 \approx \frac{1240}{656}\\ \mathrm{eV} = 1,89024\ldots\\ \mathrm{eV}.
Arredondando:
E_2 \approx 1,89\\ \mathrm{eV}.
(Comentário amigo: esses números são os famosos comprimentos de onda da série de Balmer do hidrogênio — H \beta \approx486\\ \mathrm{nm} e H \alpha \approx656\\ \mathrm{nm}.)

Passo 4

Energia dos níveis do átomo de hidrogênio (parte b): fórmula de Bohr e cálculo.
  • Fórmula: Na teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio, as energias dos níveis são
E_n = \frac{E_{n=1}}{n^{2}} = -\frac{13,6\\ \mathrm{eV}}{n^{2}},
onde n é o número quântico principal.
  • Calcule E_{n=2}:
E_{2} = -\frac{13,6}{2^{2}}\\ \mathrm{eV} = -\frac{13,6}{4}\\ \mathrm{eV} = -3,40\\ \mathrm{eV}.
  • Calcule E_{n=3}:
E_{3} = -\frac{13,6}{3^{2}}\\ \mathrm{eV} = -\frac{13,6}{9}\\ \mathrm{eV} \approx -1,511\ldots\\ \mathrm{eV},
arredondando:
E_{3} \approx -1,51\\ \mathrm{eV}.
  • Calcule E_{n=4}:
E_{4} = -\frac{13,6}{4^{2}}\\ \mathrm{eV} = -\frac{13,6}{16}\\ \mathrm{eV} = -0,85\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Verificação da soma das energias dos fótons vs diferença entre níveis n=4 e n=2 (parte c).
  • Soma das energias dos fótons dados:
E_{\text{soma}} = E_{1}+E_{2} \approx 2,55\\ \mathrm{eV} + 1,89\\ \mathrm{eV} = 4,44\\ \mathrm{eV}.
  • Diferença de energia entre n=4 e n=2:
\Delta E_{4\to2} = E_{4}-E_{2} = (-0,85)\\ \mathrm{eV} - (-3,40)\\ \mathrm{eV} = 2,55\\ \mathrm{eV}.
  • Comparação:
E_{\text{soma}} = 4,44\\ \mathrm{eV}\quad\text{e}\quad \Delta E_{4\to2}=2,55\\ \mathrm{eV}.
Portanto, a soma das energias dos dois fótons fornecidos \emph{não} é igual à diferença de energia entre os níveis n=4 e n=2.
  • Observação explicativa (amigável): faz sentido físico porque a transição direta 4\to2 já libera \approx2,55\\ \mathrm{eV} (o fóton de 486 nm). Se a emissão fosse realmente feita em dois passos decrescentes, o caminho coerente seria 4\to3 seguido de 3\to2: nesses casos as energias somadas das duas emissões igualariam \Delta E_{4\to2}. Para referência, a energia de 4\to3 seria
E_{4\to3}=E_{4}-E_{3}\approx -0,85-(-1,51)=0,66\\ \mathrm{eV},
que corresponde a um comprimento de onda muito maior (próximo de 1875\\ \mathrm{nm}), não aos 486\\ \mathrm{nm} dados. Assim, os dois fótons especificados no enunciado não somam para dar a diferença 4\to2.

Resposta

(a) E_{486\\ \mathrm{nm}}\approx 2,55\\ \mathrm{eV} \quad E_{656\\ \mathrm{nm}}\approx 1,89\\ \mathrm{eV}
(b) E_{n=2}=-3,40\\ \mathrm{eV} \quad E_{n=3}\approx -1,51\\ \mathrm{eV} \quad E_{n=4}=-0,85\\ \mathrm{eV}
(c) Soma dos fótons =4,44\\ \mathrm{eV}; \Delta E_{4\to2}=2,55\\ \mathrm{eV}. Portanto, a soma não corresponde à diferença E_{4}-E_{2}.

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