O comprimento de onda 4,653 \mu \mathrm{~m} é observado em um espectro de hidrogênio para uma transição que termina no nível \boldsymbol{n}_{\boldsymbol{f}}=5. Qual o valor \boldsymbol{n}_{i} para o nível inicial do elétron? O processo é de emissão ou absorção?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Comprimento de onda observado: \lambda = 4,653\\ \mu\mathrm{m}.
  • Nível final da transição: n_f = 5.
O enunciado pede:
  1. Determinar o valor de n_i, o nível inicial do elétron.
  2. Dizer se o processo é de emissão ou de absorção.

Passo 2

Converter o comprimento de onda para unidades do Sistema Internacional (metros), porque a constante de Rydberg será usada em \mathrm{m^{-1}}.
\lambda = 4{,}653\\ \mu\mathrm{m} = 4{,}653\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Explicação rápida: 1\\ \mu\mathrm{m}=10^{-6}\\ \mathrm{m}, então multiplica-se por 10^{-6}.

Passo 3

Apresentar a fórmula que relaciona comprimento de onda e níveis de energia no átomo de hidrogênio (fórmula de Rydberg): todas as quantidades estão explicadas.
\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right).
Onde:
  • \lambda é o comprimento de onda do fóton envolvido (em metros).
  • R é a constante de Rydberg para o hidrogênio (valor numérico aproximado usado aqui).
  • n_f é o número quântico principal do nível final.
  • n_i é o número quântico principal do nível inicial (que queremos achar).
Observação sobre emissão vs. absorção: para uma transição de emissão a condição usual é n_i>n_f (elétron cai a um nível mais baixo e emite um fóton). Para absorção é n_i<n_f (elétron sobe, absorvendo um fóton). A fórmula acima dá \tfrac{1}{\lambda}>0 quando o termo entre parênteses é positivo.
Usarei o valor da constante de Rydberg (para hidrogênio, na prática usa-se):
R = 1{,}097373\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
(Esse é o valor usualmente empregado em problemas de espectroscopia do hidrogênio.)

Passo 4

Isolar \dfrac{1}{n_i^2} a partir da fórmula de Rydberg para poder calcular n_i. Partindo de
\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right),
dividindo por R e rearranjando:
\frac{1}{\lambda R} = \frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}
\Rightarrow \frac{1}{n_i^2} = \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{\lambda R}.
Aqui cada termo tem significado claro: \dfrac{1}{n_f^2} é conhecido (porque n_f=5), \dfrac{1}{\lambda R} é calculável com \lambda e R.

Passo 5

Calcular numericamente \dfrac{1}{\lambda R}. Primeiro calcular \lambda R:
\lambda R = \left(4{,}653\times10^{-6}\right)\left(1{,}097373\times10^{7}\right).
Fazendo a multiplicação passo a passo:
4{,}653\times1{,}097373 \approx 5{,}1059\quad(\text{aprox.}),
e os fatores de potência de dez dão 10^{-6}\cdot10^{7}=10^{1}. Portanto
\lambda R \approx 5{,}1059\times10^{1}=51{,}059.
Agora inverter:
\frac{1}{\lambda R}\approx\frac{1}{51{,}059}\approx 0{,}019585\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Calcular \dfrac{1}{n_f^2} e então \dfrac{1}{n_i^2}.
\frac{1}{n_f^2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}=0{,}04.
Logo, usando a expressão do Passo 4,
\frac{1}{n_i^2} = 0{,}04 - 0{,}019585 = 0{,}020415\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

Inverter para obter n_i^2 e então n_i:
n_i^2 \approx \frac{1}{0{,}020415}\approx 49{,}0.
Tomando raiz quadrada:
n_i \approx 7{,}0.
Como n_i deve ser um inteiro positivo (números quânticos principais são inteiros), concluímos que n_i=7. O valor numérico caiu praticamente exatamente em 49 por causa da escolha da constante de Rydberg e do comprimento de onda dado — isto indica que a transição é exatamente n_i=7 para n_f=5.

Passo 8

Determinar se o processo é emissão ou absorção: já que n_i=7 e n_f=5 e n_i>n_f, isso corresponde a uma queda do elétron de um nível mais alto para um nível mais baixo, portanto o átomo libera (emite) um fóton com aquele comprimento de onda. Em outras palavras, trata-se de uma transição de emissão.
Explicação física curta para fixar: a energia do fóton emitido é a diferença E_i-E_f, que é positiva quando n_i>n_f; essa energia corresponde a hc/\lambda. Se fosse absorção, precisaríamos de um fóton para levar o elétron de n_f=5 para um nível maior; nesse caso o comprimento de onda observado em absorção seria o mesmo valor, mas a convenção do sinal na fórmula muda — aqui o fato de encontrarmos n_i=7 maior que n_f indica queda (emissão).

Resposta

n_i=7
Emissão

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