O comprimento de onda
é observado em um espectro de hidrogênio para uma transição que termina no nível
. Qual o valor
para o nível inicial do elétron? O processo é de emissão ou absorção?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Comprimento de onda observado:
. - Nível final da transição:
.
O enunciado pede:
- Determinar o valor de
, o nível inicial do elétron. - Dizer se o processo é de emissão ou de absorção.
Passo 2
Converter o comprimento de onda para unidades do Sistema Internacional (metros), porque a constante de Rydberg será usada em
.
Explicação rápida:
, então multiplica-se por
.
Passo 3
Apresentar a fórmula que relaciona comprimento de onda e níveis de energia no átomo de hidrogênio (fórmula de Rydberg): todas as quantidades estão explicadas.
Onde:
-
é o comprimento de onda do fóton envolvido (em metros). -
é a constante de Rydberg para o hidrogênio (valor numérico aproximado usado aqui). -
é o número quântico principal do nível final. -
é o número quântico principal do nível inicial (que queremos achar).
Observação sobre emissão vs. absorção: para uma transição de emissão a condição usual é
(elétron cai a um nível mais baixo e emite um fóton). Para absorção é
(elétron sobe, absorvendo um fóton). A fórmula acima dá
quando o termo entre parênteses é positivo.
Usarei o valor da constante de Rydberg (para hidrogênio, na prática usa-se):
(Esse é o valor usualmente empregado em problemas de espectroscopia do hidrogênio.)
Passo 4
Isolar
a partir da fórmula de Rydberg para poder calcular
. Partindo de
dividindo por
e rearranjando:
Aqui cada termo tem significado claro:
é conhecido (porque
),
é calculável com
e
.
Passo 5
Calcular numericamente
. Primeiro calcular
:
Fazendo a multiplicação passo a passo:
e os fatores de potência de dez dão
. Portanto
Agora inverter:
Passo 6
Calcular
e então
.
Logo, usando a expressão do Passo 4,
Passo 7
Inverter para obter
e então
:
Tomando raiz quadrada:
Como
deve ser um inteiro positivo (números quânticos principais são inteiros), concluímos que
. O valor numérico caiu praticamente exatamente em
por causa da escolha da constante de Rydberg e do comprimento de onda dado — isto indica que a transição é exatamente
para
.
Passo 8
Determinar se o processo é emissão ou absorção: já que
e
e
, isso corresponde a uma queda do elétron de um nível mais alto para um nível mais baixo, portanto o átomo libera (emite) um fóton com aquele comprimento de onda. Em outras palavras, trata-se de uma transição de emissão.
Explicação física curta para fixar: a energia do fóton emitido é a diferença
, que é positiva quando
; essa energia corresponde a
. Se fosse absorção, precisaríamos de um fóton para levar o elétron de
para um nível maior; nesse caso o comprimento de onda observado em absorção seria o mesmo valor, mas a convenção do sinal na fórmula muda — aqui o fato de encontrarmos
maior que
indica queda (emissão).
Resposta
Emissão