Um átomo de hidrogênio expande-se ou contrai-se ao mover-se de seu estado fundamental para um estado excitado? Justifique!

Passo 1

O enunciado pergunta se um átomo de hidrogênio “expande-se” ou “contrai-se” quando passa do estado fundamental para um estado excitado, e pede justificativa. Informação importante que vem do enunciado (mesmo que implícita):
  • Estado fundamental do hidrogênio: \,n=1.
  • Estado excitado: qualquer estado com \,n\ge 2.
    O que precisamos responder: ao passar de \,n=1 para \,n\ge 2, a “tamanho” do átomo aumenta ou diminui? Vamos justificar mostrando como a distância típica do elétron ao núcleo depende de \,n.

Passo 2

Apresentar uma explicação simples (modelo de Bohr) que já dá a resposta de forma clara e fácil de entender.
No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio (útil como primeira aproximação) há duas condições principais:
  • força centrípeta = força coulombiana:
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{e^2}{r^2}=\frac{m_e v^2}{r},
onde \,e é a carga do elétron, \,m_e sua massa, \,v a velocidade e \,r o raio da “órbita”.
  • quantização do momento angular:
m_e v r = n\hbar,
onde \,n é o número quântico principal e \hbar é a constante de Planck reduzida.
Da segunda equação temos v=\dfrac{n\hbar}{m_e r}. Substituindo na primeira:
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{e^2}{r^2}=\frac{m_e}{r}\left(\frac{n\hbar}{m_e r}\right)^2 =\frac{n^2\hbar^2}{m_e r^3}.
Isolando r:
r_n=\frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}\,n^2 \equiv a_0\,n^2,
onde
a_0=\frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}
é o raio de Bohr ( a_0\approx 0{,}529\times10^{-10}\\ \mathrm{m}).
Conclusão do Bohr: o “raio” cresce como n^2. Assim, ao passar de n=1 para n=2 ou maior, o átomo aumenta de tamanho (expande-se).

Passo 3

Agora dar a justificativa mais precisa usando mecânica quântica (expectation value), explicando o que é e por que confirma o resultado do Bohr.
Na mecânica quântica, o elétron não tem uma órbita fixa, mas uma distribuição de probabilidade. Uma medida de “tamanho” é o valor esperado da distância ao núcleo:
\langle r\rangle = \int \psi^*(\mathbf r)\, r\, \psi(\mathbf r)\,d^3r,
onde \psi é a função de onda do estado atômico. Para o átomo de hidrogênio (núcleo com Z=1) existe uma fórmula conhecida para estados estacionários rotacionais caracterizados por (n,\ell,m):
\langle r\rangle = \frac{a_0}{2}\bigl(3n^2-\ell(\ell+1)\bigr).
Aqui:
  • \,n é o número quântico principal ( n=1,2,\dots);
  • \,\ell é o número quântico azimutal ( \ell=0,1,\dots,n-1);
  • \,a_0 é o raio de Bohr definido acima.
Observe que o termo dominante é 3n^2, ou seja, \langle r\rangle cresce como n^2 quando n aumenta — a dependência em \ell é apenas um ajuste menor.

Passo 4

Exemplos numéricos simples para fixar a intuição (usar os valores em unidades de a_0, mais fácil de comparar).
  • Estado fundamental: n=1,\\ \ell=0:
\langle r\rangle_{1,0}=\frac{a_0}{2}\bigl(3\cdot1^2-0\bigr)=\frac{3}{2}a_0=1{,}5\,a_0.
  • Primeiro nível excitado, n=2:
    • para \ell=0 (estado 2s):
    \langle r\rangle_{2,0}=\frac{a_0}{2}\bigl(3\cdot2^2-0\bigr)=\frac{12}{2}a_0=6\,a_0;
    • para \ell=1 (estado 2p):
    \langle r\rangle_{2,1}=\frac{a_0}{2}\bigl(3\cdot2^2-1\cdot2\bigr)=\frac{10}{2}a_0=5\,a_0.
Comparação: 1{,}5\,a_0 (ground) contra 5\,a_0 ou 6\,a_0 (excitado) — claramente maior.

Passo 5

Explicação física-intuitiva (sem fórmulas pesadas) e comentários pedagógicos.
  • Energia: o estado fundamental tem energia mais negativa (mais fortemente ligado). Ao excitar o elétron sua energia total aumenta (torna-se menos negativa), ou seja, o elétron fica menos ligado ao núcleo. Menor ligação tende a permitir que a distribuição de probabilidade “se espalhe” mais longe do núcleo.
  • Probabilidade radial: as funções de onda dos estados com maior n têm máximo de probabilidade em distâncias maiores e apresentam mais “nós” radiais; em média o elétron está mais longe.
  • Consistência entre modelos: tanto o modelo semiclas­sico de Bohr ( r_n=a_0 n^2) quanto o cálculo quântico ( \langle r\rangle\sim n^2) dão a mesma tendência: o átomo expande-se quando n aumenta.
  • Observação sobre definições de “tamanho”: diferentes medidas (raio mais provável, valor médio \langle r\rangle, RMS) têm valores distintos, mas todas crescem com n.

Passo 6

Resumo motivador: na prova, se te pedirem justificar, cite o argumento de escala (Bohr: r_n\propto n^2) e, se quiser ser mais formal, apresente a expressão quântica para \langle r\rangle que mostra o crescimento com n^2. Isso resolve rapidamente e com rigor.

Resposta

Expande-se.

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