Um átomo de hidrogênio expande-se ou contrai-se ao mover-se de seu estado fundamental para um estado excitado? Justifique!
Passo 1
O enunciado pergunta se um átomo de hidrogênio “expande-se” ou “contrai-se” quando passa do estado fundamental para um estado excitado, e pede justificativa. Informação importante que vem do enunciado (mesmo que implícita):
- Estado fundamental do hidrogênio:
. - Estado excitado: qualquer estado com
.
O que precisamos responder: ao passar depara , a “tamanho” do átomo aumenta ou diminui? Vamos justificar mostrando como a distância típica do elétron ao núcleo depende de .
Passo 2
Apresentar uma explicação simples (modelo de Bohr) que já dá a resposta de forma clara e fácil de entender.
No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio (útil como primeira aproximação) há duas condições principais:
- força centrípeta = força coulombiana:
onde
é a carga do elétron,
sua massa,
a velocidade e
o raio da “órbita”.
- quantização do momento angular:
onde
é o número quântico principal e
é a constante de Planck reduzida.
Da segunda equação temos
. Substituindo na primeira:
Isolando
:
onde
é o raio de Bohr (
).
Conclusão do Bohr: o “raio” cresce como
. Assim, ao passar de
para
ou maior, o átomo aumenta de tamanho (expande-se).
Passo 3
Agora dar a justificativa mais precisa usando mecânica quântica (expectation value), explicando o que é e por que confirma o resultado do Bohr.
Na mecânica quântica, o elétron não tem uma órbita fixa, mas uma distribuição de probabilidade. Uma medida de “tamanho” é o valor esperado da distância ao núcleo:
onde
é a função de onda do estado atômico. Para o átomo de hidrogênio (núcleo com
) existe uma fórmula conhecida para estados estacionários rotacionais caracterizados por
:
Aqui:
-
é o número quântico principal ( ); -
é o número quântico azimutal ( ); -
é o raio de Bohr definido acima.
Observe que o termo dominante é
, ou seja,
cresce como
quando
aumenta — a dependência em
é apenas um ajuste menor.
Passo 4
Exemplos numéricos simples para fixar a intuição (usar os valores em unidades de
, mais fácil de comparar).
- Estado fundamental:
:
- Primeiro nível excitado,
: - para
(estado ):
- para
(estado ):
- para
Comparação:
(ground) contra
ou
(excitado) — claramente maior.
Passo 5
Explicação física-intuitiva (sem fórmulas pesadas) e comentários pedagógicos.
- Energia: o estado fundamental tem energia mais negativa (mais fortemente ligado). Ao excitar o elétron sua energia total aumenta (torna-se menos negativa), ou seja, o elétron fica menos ligado ao núcleo. Menor ligação tende a permitir que a distribuição de probabilidade “se espalhe” mais longe do núcleo.
- Probabilidade radial: as funções de onda dos estados com maior
têm máximo de probabilidade em distâncias maiores e apresentam mais “nós” radiais; em média o elétron está mais longe. - Consistência entre modelos: tanto o modelo semiclassico de Bohr (
) quanto o cálculo quântico ( ) dão a mesma tendência: o átomo expande-se quando aumenta. - Observação sobre definições de “tamanho”: diferentes medidas (raio mais provável, valor médio
, RMS) têm valores distintos, mas todas crescem com .
Passo 6
Resumo motivador: na prova, se te pedirem justificar, cite o argumento de escala (Bohr:
) e, se quiser ser mais formal, apresente a expressão quântica para
que mostra o crescimento com
. Isso resolve rapidamente e com rigor.
Resposta
Expande-se.