Para o átomo de hidrogênio, o raio de Bohr é a_{0}=5,29 \times 10^{-11} \mathrm{~m}. Calcule o raio da órbita para:
b) n=4

Passo 1

O enunciado pede: calcular o raio da órbita do elétron no átomo de hidrogênio para n=4.
Informações dadas: o raio de Bohr é \,a_{0}=5{,}29\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Pergunta clara: qual é o raio r da órbita para n=4?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática passo a passo). No modelo de Bohr, as órbitas permitidas do elétron satisfazem que o momento angular é quantizado e a força centrípeta é fornecida pela força eletrostática entre próton e elétron. Isso leva à fórmula geral do raio da n-ésima órbita:
r_{n}=n^{2}a_{0}.
O que significa cada símbolo:
  • r_{n} é o raio da órbita com número quântico principal n.
  • n é um número inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots).
  • a_{0} é o raio de Bohr (o raio da órbita fundamental, n=1), dado no enunciado como \,a_{0}=5{,}29\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Breve derivação (para fixar o entendimento, mas você não precisa refazer tudo na prova se a fórmula for dada):
  1. Equilíbrio de forças: a força centrípeta m v^{2}/r é igual à força elétrica coulombiana k e^{2}/r^{2}.
  2. Quantização do momento angular: m v r = n\hbar.
    Substitindo v da segunda na primeira e resolvendo para r obtém-se r_{n}=n^{2}\,\dfrac{\hbar^{2}}{m k e^{2}}. O fator \dfrac{\hbar^{2}}{m k e^{2}} é exatamente o a_{0}. Por isso a forma simples r_{n}=n^{2}a_{0}.

Passo 3

Aplicando a fórmula para n=4. Primeiro calculemos n^{2}:
n^{2}=4^{2}=16.
Portanto
r_{4}=16\,a_{0}.

Passo 4

Substituímos o valor numérico de a_{0}. Usando \,a_{0}=5{,}29\times10^{-11}\\ \mathrm{m}:
r_{4}=16\cdot\bigl(5{,}29\times10^{-11}\bigr)\\ \mathrm{m}.
Calcule a multiplicação passo a passo: 5{,}29\times16=5{,}29\times(10+6)=52{,}9+31{,}74=84{,}64. Então
r_{4}=84{,}64\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Agora colocamos em notação padrão: 84{,}64\times10^{-11}=8{,}464\times10^{-10}. Logo
r_{4}=8{,}464\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Ajustando algarismos significativos de acordo com o dado inicial ( a_{0} com três algarismos significativos), arredondamos para três algarismos significativos:
r_{4}=8{,}46\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para unidades mais usuais: 1\\ \text{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}, então r_{4}=8{,}46\\ \text{\AA}. Em nanômetros, r_{4}=0{,}846\\ \mathrm{nm}.

Resposta

r_{4}=8{,}46\times10^{-10}\\ \mathrm{m}

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