Q10. Calcule o comprimento de onda de De Broglie de uma esfera de
movendo-se a
. Comente se efeitos quânticos são perceptíveis neste caso.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos:
- Queremos o comprimento de onda de De Broglie de uma esfera de massa
movendo-se a . - Dados numéricos explícitos:
- O que o problema pede:
- Calcular o comprimento de onda de De Broglie dessa esfera.
- Comentar se efeitos quânticos são perceptíveis nesse caso.
Passo 2
Apresentando a fórmula de De Broglie e o significado das grandezas:
- A hipótese de De Broglie diz que toda partícula com momento linear tem associada uma onda cujo comprimento de onda é
onde:
-
é o comprimento de onda (unidade: ), -
é a constante de Planck (unidade: ), -
é o momento linear da partícula (unidade: ). - O momento linear para uma partícula não relativística é dado por
onde
é a massa (em
) e
a velocidade (em
).
Passo 3
Valor numérico da constante de Planck e conversão de unidades:
- Usaremos o valor padrão da constante de Planck:
- Convertendo a massa indicada (
) para o SI:
Passo 4
Cálculo do momento linear da esfera:
- Aplicando
com e :
- Em notação científica isso é
Passo 5
Cálculo do comprimento de onda
:
- Usando
, substituímos os valores:
- Observe que dividir por
é o mesmo que multiplicar por . Portanto
- Arredondando de forma conveniente:
Passo 6
Análise física e comparação de escalas (por que isso importa):
- Para que efeitos quânticos de difração/interferência sejam observáveis, o comprimento de onda deve ser comparável às dimensões do objeto ou às distâncias características do experimento (por exemplo, fendas, distâncias intermoleculares, etc.).
- Escalas típicas de referência:
- Escala atômica/eletrônica:
(angström). - Nosso resultado é
, ou seja, cerca de vezes menor que uma escala atômica.
- Escala atômica/eletrônica:
- Para caracterizar geometricamente a esfera: se assumirmos uma densidade típica (por exemplo,
, como água) então o volume é e o raio da esfera seria da ordem de (cerca de ). A razão entre comprimento de onda e tamanho é então da ordem de
ou seja, absolutamente insignificante.
- Conclusão física: como
é absurdamente menor que qualquer dimensão macroscópica ou mesmo atômica, os efeitos de natureza ondulatória (difração, interferência) são impossíveis de detectar para essa esfera; o comportamento clássico (mecânica newtoniana) é mais do que suficiente.
Resposta
Efeitos quânticos não perceptíveis (comprimento de onda extremamente menor que escalas atômicas e macroscópicas).