Q10. Calcule o comprimento de onda de De Broglie de uma esfera de 1 g movendo-se a 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Comente se efeitos quânticos são perceptíveis neste caso.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos:
  • Queremos o comprimento de onda de De Broglie de uma esfera de massa 1\\ \mathrm{g} movendo-se a 2\\ \mathrm{m/s}.
  • Dados numéricos explícitos: m = 1\\ \mathrm{g},\qquad v = 2\\ \mathrm{m/s}.
  • O que o problema pede:
    1. Calcular o comprimento de onda de De Broglie dessa esfera.
    2. Comentar se efeitos quânticos são perceptíveis nesse caso.

Passo 2

Apresentando a fórmula de De Broglie e o significado das grandezas:
  • A hipótese de De Broglie diz que toda partícula com momento linear tem associada uma onda cujo comprimento de onda é
\lambda=\frac{h}{p},
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda (unidade: \mathrm{m}),
  • h é a constante de Planck (unidade: \mathrm{J\,s}),
  • p é o momento linear da partícula (unidade: \mathrm{kg\,m/s}).
  • O momento linear para uma partícula não relativística é dado por
p = m v,
onde m é a massa (em \mathrm{kg}) e v a velocidade (em \mathrm{m/s}).

Passo 3

Valor numérico da constante de Planck e conversão de unidades:
  • Usaremos o valor padrão da constante de Planck:
h = 6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • Convertendo a massa indicada ( 1\\ \mathrm{g}) para o SI:
m = 1\\ \mathrm{g} = 0,001\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Cálculo do momento linear da esfera:
  • Aplicando p = m v com m = 0,001\\ \mathrm{kg} e v = 2\\ \mathrm{m/s}:
p = 0,001 \times 2 = 0,002\\ \mathrm{kg\,m/s}.
  • Em notação científica isso é
p = 2,0\times10^{-3}\\ \mathrm{kg\,m/s}.

Passo 5

Cálculo do comprimento de onda \lambda:
  • Usando \lambda = h/p, substituímos os valores:
\lambda = \frac{6,626\times10^{-34}}{2,0\times10^{-3}}\\ \mathrm{m}.
  • Observe que dividir por 2,0\times10^{-3} é o mesmo que multiplicar por 5,0\times10^{2}. Portanto
\lambda \approx 6,626\times10^{-34}\times5,0\times10^{2}=3,313\times10^{-31}\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando de forma conveniente:
\lambda \approx 3,31\times10^{-31}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Análise física e comparação de escalas (por que isso importa):
  • Para que efeitos quânticos de difração/interferência sejam observáveis, o comprimento de onda deve ser comparável às dimensões do objeto ou às distâncias características do experimento (por exemplo, fendas, distâncias intermoleculares, etc.).
  • Escalas típicas de referência:
    • Escala atômica/eletrônica: \sim 10^{-10}\\ \mathrm{m} (angström).
    • Nosso resultado é \lambda\sim10^{-31}\\ \mathrm{m}, ou seja, cerca de 10^{21} vezes menor que uma escala atômica.
  • Para caracterizar geometricamente a esfera: se assumirmos uma densidade típica (por exemplo, \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^3}, como água) então o volume é V=m/\rho=10^{-6}\\ \mathrm{m^3} e o raio da esfera seria da ordem de r\sim6{,}2\times10^{-3}\\ \mathrm{m} (cerca de 6{,}2\\ \mathrm{mm}). A razão entre comprimento de onda e tamanho é então da ordem de
\frac{\lambda}{r}\sim\frac{3{,}3\times10^{-31}}{6{,}2\times10^{-3}}\sim5\times10^{-29},
ou seja, absolutamente insignificante.
  • Conclusão física: como \lambda é absurdamente menor que qualquer dimensão macroscópica ou mesmo atômica, os efeitos de natureza ondulatória (difração, interferência) são impossíveis de detectar para essa esfera; o comportamento clássico (mecânica newtoniana) é mais do que suficiente.

Resposta

\lambda \approx 3,31\times10^{-31}\\ \mathrm{m}
Efeitos quânticos não perceptíveis (comprimento de onda extremamente menor que escalas atômicas e macroscópicas).

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