onde a_{0} é o raio de Bohr.
(a) Calcule o valor esperado da distância radial \langle r\rangle para esse estado, sabendo que:
\langle r\rangle=\int_{0}^{+\infty} r\left|\psi_{100}(r, \theta, \varphi)\right|^{2} 4 \pi r^{2} d r
(b) Determine o valor de r que maximiza a densidade de probabilidade radial, ou seja, a distância mais provável do elétron ao núcleo no estado fundamental.
Passo 1
O enunciado dá a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio:
(b) Determinar o valor de r que maximiza a densidade de probabilidade radial — isto é, achar a distância mais provável do elétron ao núcleo.
Informações relevantes que temos e vamos usar: a função de onda está normalizada, a densidade de probabilidade em coordenadas esféricas é |\psi|^{2}, e a densidade radial (probabilidade de encontrar o elétron entre r e r+dr) é
Explicação rápida: P(r) é uma função que dá a probabilidade por unidade de r. Note que P(r)\ge0 e que \int_{0}^{\infty}P(r)\,dr=1 (isso vem da normalização da função de onda).
Passo 3
Agora montamos a integral para \langle r\rangle. Substituindo |\psi|^{2} na expressão dada:
Interpretação curta: o valor esperado da distância radial no estado fundamental é \tfrac{3}{2}a_{0}, ou seja, 1{,}5 vezes o raio de Bohr.
Passo 6
Agora a parte (b): queremos o r que maximiza P(r)=\dfrac{4}{a_{0}^{3}}r^{2}e^{-2r/a_{0}}. Como \dfrac{4}{a_{0}^{3}}>0 e o fator exponencial é sempre positivo, podemos maximizar a função
f(r)=r^{2}e^{-2r/a_{0}}.
Para achar extremos tomamos a derivada e igualamos a zero. Use a regra do produto para f(r)=r^{2}\cdot e^{-2r/a_{0}}:
As soluções de f'(r)=0 são dadas por e^{-2r/a_{0}}=0 (impossível), 2r=0\Rightarrow r=0, ou 1-\dfrac{r}{a_{0}}=0\Rightarrow r=a_{0}. O caso r=0 dá f(0)=0 (mínimo local / valor nulo), enquanto r=a_{0} dá um máximo (podemos verificar pelo sinal da derivada ou observar que f(r) cresce de 0 até a_{0} e depois decai exponencialmente). Logo a distância mais provável é
r=a_{0}.
Isso tem um significado físico legal: a distância mais provável para encontrar o elétron no estado fundamental coincide com o raio de Bohr a_{0}, embora o valor médio seja \tfrac{3}{2}a_{0} (ou seja, a média é um pouco maior que o pico da distribuição).