[Átomo de Hidrogênio de Schrödinger] Considere o estado fundamental do átomo de hidrogênio, descrito pela função de onda:
\psi_{100}(r, \theta, \varphi)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_{0}^{3}}} e^{-r / a_{0}}
onde a_{0} é o raio de Bohr.
(a) Calcule o valor esperado da distância radial \langle r\rangle para esse estado, sabendo que:
\langle r\rangle=\int_{0}^{+\infty} r\left|\psi_{100}(r, \theta, \varphi)\right|^{2} 4 \pi r^{2} d r
(b) Determine o valor de r que maximiza a densidade de probabilidade radial, ou seja, a distância mais provável do elétron ao núcleo no estado fundamental.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio:
\psi_{100}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_{0}^{3}}}e^{-r/a_{0}}
e pede duas coisas:
(a) Calcular o valor esperado da distância radial \langle r\rangle, usando a fórmula dada
\langle r\rangle=\int_{0}^{+\infty} r\left|\psi_{100}(r,\theta,\varphi)\right|^{2}4\pi r^{2}\,dr.
(b) Determinar o valor de r que maximiza a densidade de probabilidade radial — isto é, achar a distância mais provável do elétron ao núcleo.
Informações relevantes que temos e vamos usar: a função de onda está normalizada, a densidade de probabilidade em coordenadas esféricas é |\psi|^{2}, e a densidade radial (probabilidade de encontrar o elétron entre r e r+dr) é
P(r)=4\pi r^{2}|\psi_{100}(r,\theta,\varphi)|^{2}.

Passo 2

Primeiro calculemos |\psi_{100}|^{2}. Como \psi_{100} é real nesse caso, temos:
|\psi_{100}(r,\theta,\varphi)|^{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{\pi a_{0}^{3}}}e^{-r/a_{0}}\right)^{2}=\frac{1}{\pi a_{0}^{3}}e^{-2r/a_{0}}.
A densidade radial P(r) fica então:
P(r)=4\pi r^{2}\cdot\frac{1}{\pi a_{0}^{3}}e^{-2r/a_{0}}=\frac{4}{a_{0}^{3}}r^{2}e^{-2r/a_{0}}.
Explicação rápida: P(r) é uma função que dá a probabilidade por unidade de r. Note que P(r)\ge0 e que \int_{0}^{\infty}P(r)\,dr=1 (isso vem da normalização da função de onda).

Passo 3

Agora montamos a integral para \langle r\rangle. Substituindo |\psi|^{2} na expressão dada:
\langle r\rangle=\int_{0}^{\infty} r\cdot\frac{1}{\pi a_{0}^{3}}e^{-2r/a_{0}}\cdot 4\pi r^{2}\,dr =\frac{4}{a_{0}^{3}}\int_{0}^{\infty} r^{3}e^{-2r/a_{0}}\,dr.
Vou calcular a integral
I=\int_{0}^{\infty} r^{3}e^{-2r/a_{0}}\,dr
passo a passo com uma substituição simples que costuma ser utilizada em integrais do tipo \int r^{n}e^{-\alpha r}\,dr.

Passo 4

Faça a substituição \,t=\frac{2r}{a_{0}}. Então
r=\frac{a_{0}}{2}t,\qquad dr=\frac{a_{0}}{2}dt.
Substituindo em I:
r^{3}dr=\left(\frac{a_{0}}{2}t\right)^{3}\cdot\frac{a_{0}}{2}dt=\frac{a_{0}^{4}}{16}t^{3}dt.
Os limites r=0\to t=0 e r\to\infty\to t\to\infty. Assim
I=\frac{a_{0}^{4}}{16}\int_{0}^{\infty}t^{3}e^{-t}dt.
A integral \int_{0}^{\infty}t^{3}e^{-t}dt é conhecida: é o fatorial 3!=6 (essa é a definição do valor de \Gamma(4)). Portanto
I=\frac{a_{0}^{4}}{16}\cdot 6=\frac{6}{16}a_{0}^{4}=\frac{3}{8}a_{0}^{4}.

Passo 5

Voltando para \langle r\rangle:
\langle r\rangle=\frac{4}{a_{0}^{3}}\cdot I=\frac{4}{a_{0}^{3}}\cdot\frac{3}{8}a_{0}^{4}=\frac{12}{8}a_{0}=\frac{3}{2}a_{0}.
Interpretação curta: o valor esperado da distância radial no estado fundamental é \tfrac{3}{2}a_{0}, ou seja, 1{,}5 vezes o raio de Bohr.

Passo 6

Agora a parte (b): queremos o r que maximiza P(r)=\dfrac{4}{a_{0}^{3}}r^{2}e^{-2r/a_{0}}. Como \dfrac{4}{a_{0}^{3}}>0 e o fator exponencial é sempre positivo, podemos maximizar a função
f(r)=r^{2}e^{-2r/a_{0}}.
Para achar extremos tomamos a derivada e igualamos a zero. Use a regra do produto para f(r)=r^{2}\cdot e^{-2r/a_{0}}:
f'(r)=2r\cdot e^{-2r/a_{0}} + r^{2}\cdot e^{-2r/a_{0}}\cdot\left(-\frac{2}{a_{0}}\right).
Fatorando e^{-2r/a_{0}} e 2r:
f'(r)=e^{-2r/a_{0}}\cdot 2r\left(1-\frac{r}{a_{0}}\right).

Passo 7

As soluções de f'(r)=0 são dadas por e^{-2r/a_{0}}=0 (impossível), 2r=0\Rightarrow r=0, ou 1-\dfrac{r}{a_{0}}=0\Rightarrow r=a_{0}. O caso r=0 f(0)=0 (mínimo local / valor nulo), enquanto r=a_{0} dá um máximo (podemos verificar pelo sinal da derivada ou observar que f(r) cresce de 0 até a_{0} e depois decai exponencialmente). Logo a distância mais provável é
r=a_{0}.
Isso tem um significado físico legal: a distância mais provável para encontrar o elétron no estado fundamental coincide com o raio de Bohr a_{0}, embora o valor médio seja \tfrac{3}{2}a_{0} (ou seja, a média é um pouco maior que o pico da distribuição).

Resposta

(a) \langle r\rangle=\dfrac{3}{2}a_{0}
(b) r_{\text{mais provável}}=a_{0}á

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