Um átomo com massa m vibra com movimento harmônico simples em uma rede cristalina. Se o átomo absorve um fóton de comprimento de onda \lambda e sofre transição do nível fundamental para o primeiro nível excitado, mostre que a “constante de força da mola” correspondente pode ser escrita como:
k=\frac{4 \pi^{2} m c^{2}}{\lambda^{2}}

Passo 1

O enunciado modela o átomo como um oscilador harmônico quântico de massa m que absorve um fóton de comprimento de onda \lambda para ir do estado fundamental n=0 ao primeiro estado excitado n=1. Vamos usar a quantização de energia do oscilador harmônico e a relação clássica k = m\,\omega^2.

Passo 2

Na Mecânica Quântica, os níveis de energia do oscilador harmônico são
E_n = \Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\hbar\omega.
A diferença entre n=1 e n=0 é
\Delta E = E_1 - E_0 = \hbar\omega.

Passo 3

Ao absorver o fóton, essa variação \Delta E deve igualar a energia do fóton:
\hbar\omega = \frac{h c}{\lambda}.

Passo 4

Usando h = 2\pi\hbar, temos
\omega = \frac{2\pi c}{\lambda}.

Passo 5

Na descrição clássica do oscilador, k = m\,\omega^2. Substituindo \omega obtém-se
k = m \Bigl(\frac{2\pi c}{\lambda}\Bigr)^2 = \frac{4\pi^2 m\,c^2}{\lambda^2}.

Resposta

k = \frac{4 \pi^{2} m c^{2}}{\lambda^{2}}

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