Mostre que o espaçamento entre os níveis de energia adjacentes por unidade de energia para o oscilador harmônico quântico pode ser escrito como:
\frac{\Delta E_{n}}{E_{n}}=\frac{2}{2 n+1}
Faça uma breve análise deste resultado e mostre que ele está de acordo com o princípio da correspondência de Niels Bohr, que diz que os resultados quânticos são equivalentes aos resultados clássicos no limite de grandes números quânticos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para o oscilador harmônico quântico, o espaçamento entre níveis adjacentes dividido pela energia do nível n satisfaz
\frac{\Delta E_{n}}{E_{n}} = \frac{2}{2n+1},
e em seguida fazer uma breve análise relacionando esse resultado com o princípio da correspondência de Bohr, que exige que a teoria quântica reproduza a clássica quando n é grande.
Passo 2
O espectro de energias do oscilador harmônico quântico é dado pela fórmula bem conhecida
E_{n} = \Bigl(n + \tfrac12\Bigr)\,\hbar\omega,
onde n = 0,1,2,\dots, \hbar é a constante de Planck reduzida e \omega a frequência do oscilador.
Isso significa que, em grandes números quânticos, os níveis de energia ficam tão próximos que o espectro se torna praticamente contínuo, exatamente como na descrição clássica do oscilador, onde não há quantização discreta. Assim, o resultado está de acordo com o princípio de correspondência de Bohr.
Resposta
\frac{\Delta E_{n}}{E_{n}} = \frac{2}{2n+1},
e para n\to\infty essa razão tende a zero, compatibilizando a teoria quântica com a descrição clássica.