6 Um átomo do tipo de hidrogênio consiste de um único elétron que orbita em tomo de um núcleo com
prótons (
seria o próprio hidrogênio,
seria o hélio ionizado,
seria o lítio duplamente ionizado, e assim por diante). Determine as energias de Bohr
, a energia de ligação
, o raio de Bohr
e a constante de Rydbcrg
para o átomo do tipo do hidrogênio (expresse suas respostas em múltiplos
adequados aos valores do hidrogênio). Onde, no espectro eletromagnético, situar-se-ia a série de Lyman para
e
?
Dica: não há muito o que calcular aqui. No potencial (Equação 4.52),
, então tudo o que você tem a fazer é a mesma substituição em todos os resultados finais.
adequados aos valores do hidrogênio). Onde, no espectro eletromagnético, situar-se-ia a série de Lyman para
Dica: não há muito o que calcular aqui. No potencial (Equação 4.52),
Passo 1
O enunciado pede, para um átomo do tipo hidrogênio com carga nuclear
(ou seja, elétron único orbitando núcleo com carga
):
- Determinar as energias de Bohr
. - Determinar a energia de ligação
. - Determinar o raio de Bohr
. - Determinar a constante de Rydberg
. - Dizer onde, no espectro eletromagnético, fica a série de Lyman para
e .
Informações e pistas úteis dadas no enunciado:
- A única alteração na passagem do hidrogênio (
) para o átomo hidrogenoide com carga é que no potencial coulombiano aparece . - Valores de referência para o hidrogênio (úteis para expressar respostas como múltiplos do hidrogênio):
- Energia fundamental do hidrogênio:
. - Raio de Bohr (hidrogênio):
. - Constante de Rydberg (em número de onda) para o hidrogênio:
.
- Energia fundamental do hidrogênio:
Nada mais é fornecido; agora vamos derivar as fórmulas aplicando a substituição
passo a passo e explicando cada equação e cada variável usada.
Passo 2
Relembrando as hipóteses básicas do modelo de Bohr (que vamos usar e justificar):
- O elétron descreve órbitas circulares sob a força coulombiana do núcleo.
- Momento angular quantizado:
, onde -
é a massa do elétron, -
é a velocidade do elétron na órbita, -
é o raio da órbita, -
é o número quântico principal, -
é a constante de Planck reduzida.
-
- Força centrípeta igual à força coulombiana:
Aqui
é a permissividade do vácuo e
é a carga elementar.
Agora vamos usar essas duas equações para achar
em função de
e
.
A partir da quantização do momento angular:
Substituindo
na equação da força:
Simplificando:
Cancelando um
e resolvendo para
:
Definindo o raio de Bohr do hidrogênio
(constante conhecida), obtemos
Interpretação prática (resumo deste passo):
- O raio da órbita cresce como
e diminui com . - Portanto o raio de Bohr do átomo hidrogenoide em estado fundamental (
) é
Passo 3
Agora vamos achar a energia total da órbita
. No modelo de Bohr:
- Energia cinética do elétron:
. - Energia potencial coulombiana:
. - Energia total:
.
Usamos a relação obtida da força centrípeta:
Logo a energia cinética é
Então a energia total é
Substituindo
:
Agora lembrar que, para
, essa expressão vale
Então podemos escrever diretamente a forma escalada:
Também é útil a forma em constantes fundamentais (para saber de onde vem o número
):
Explicação de variáveis nessa fórmula final:
-
: massa do elétron, -
: carga do elétron, -
: permissividade do vácuo, -
: constante de Planck reduzida, -
: número de prótons no núcleo, -
: número quântico principal.
Passo 4
Energia de ligação (energia do estado fundamental,
):
Usando o resultado do passo anterior:
Observação física: o módulo da energia de ligação
é a energia mínima necessária para ionizar o elétron (tirá-lo do nível
até separação).
Passo 5
Raio de Bohr do átomo com carga
:
Do passo 2 temos
Em termos numéricos:
Isso deixa claro: núcleos mais carregados puxam o elétron mais para perto (raio menor).
Passo 6
Constante de Rydberg do átomo hidrogenoide
.
A fórmula de Rydberg (em número de onda) para uma transição
é
Como as energias escalam com
, a constante de Rydberg também escala:
onde
é a constante de Rydberg do hidrogênio (
):
Também existe a forma em constantes fundamentais:
logo
Passo 7
Série de Lyman para
e
.
Definição: Lyman = transições para
, com
. A fórmula para o comprimento de onda do ramos é
Dois comprimentos de referência úteis:
- Lyman-
( ): . - Límite de Lyman (ionização de
, ): .
Como
, os comprimentos de onda escalam como
em relação ao hidrogênio. Usando valores conhecidos do hidrogênio:
- Para o hidrogênio (
): -
. -
.
-
Logo para
(He+):
Para
(Li2+):
Classificação no espectro eletromagnético:
- Faixa
– (hidrogênio) é ultravioleta distante (far-UV). - Faixa
– ( ) está no ultravioleta extremo (EUV). - Faixa
– ( ) está no UV extremo / aproximação de raios-X brandos (soft X‑ray) — em geral classificada como extremo UV ou região limite EUV/soft X-ray.
Passo 8
Resumo pedagógico rápido (como usar isso numa prova):
- Sempre que surgir um problema com átomo hidrogenoide, aplique a regra prática: todas as quantidades escala com
de forma simples: -
. -
. -
.
-
- Para calcular qualquer comprimento de onda de transição use a fórmula de Rydberg com
: - Dica prática: se a questão pede números, basta multiplicar/dividir pelos fatores
ou em relação ao hidrogênio.
Resposta
Série de Lyman:\newline
Para
Para