6 Um átomo do tipo de hidrogênio consiste de um único elétron que orbita em tomo de um núcleo com Z prótons ( Z=1 seria o próprio hidrogênio, Z=2 seria o hélio ionizado, Z=3 seria o lítio duplamente ionizado, e assim por diante). Determine as energias de Bohr E_{n}(Z), a energia de ligação E_{1}(Z), o raio de Bohr a(Z) e a constante de Rydbcrg R(Z) para o átomo do tipo do hidrogênio (expresse suas respostas em múltiplos
adequados aos valores do hidrogênio). Onde, no espectro eletromagnético, situar-se-ia a série de Lyman para Z=2 e Z=3 ?
Dica: não há muito o que calcular aqui. No potencial (Equação 4.52), e^{2} \rightarrow Z e^{2}, então tudo o que você tem a fazer é a mesma substituição em todos os resultados finais.

Passo 1

O enunciado pede, para um átomo do tipo hidrogênio com carga nuclear Z (ou seja, elétron único orbitando núcleo com carga +Ze):
  • Determinar as energias de Bohr \,E_{n}(Z)\,.
  • Determinar a energia de ligação \,E_{1}(Z)\,.
  • Determinar o raio de Bohr \,a(Z)\,.
  • Determinar a constante de Rydberg \,R(Z)\,.
  • Dizer onde, no espectro eletromagnético, fica a série de Lyman para Z=2 e Z=3.
Informações e pistas úteis dadas no enunciado:
  • A única alteração na passagem do hidrogênio ( Z=1) para o átomo hidrogenoide com carga Z é que no potencial coulombiano aparece e^{2}\to Z e^{2}.
  • Valores de referência para o hidrogênio (úteis para expressar respostas como múltiplos do hidrogênio):
    • Energia fundamental do hidrogênio: E_{1}(1) = -13{,}6\\ \mathrm{eV}.
    • Raio de Bohr (hidrogênio): a_{0} = 5{,}29\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
    • Constante de Rydberg (em número de onda) para o hidrogênio: R_{H}\approx 1{,}097373\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}.
Nada mais é fornecido; agora vamos derivar as fórmulas aplicando a substituição e^{2}\to Z e^{2} passo a passo e explicando cada equação e cada variável usada.

Passo 2

Relembrando as hipóteses básicas do modelo de Bohr (que vamos usar e justificar):
  • O elétron descreve órbitas circulares sob a força coulombiana do núcleo.
  • Momento angular quantizado: m v r = n\hbar, onde
    • m é a massa do elétron,
    • v é a velocidade do elétron na órbita,
    • r é o raio da órbita,
    • n\in\mathbb{N} é o número quântico principal,
    • \hbar é a constante de Planck reduzida.
  • Força centrípeta igual à força coulombiana: \frac{m v^{2}}{r}=\frac{Z e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}.
Aqui \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo e e é a carga elementar.
Agora vamos usar essas duas equações para achar r em função de n e Z.
A partir da quantização do momento angular:
v=\frac{n\hbar}{m r}.
Substituindo v na equação da força:
\frac{m}{r}\left(\frac{n\hbar}{m r}\right)^{2}=\frac{Z e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}.
Simplificando:
\frac{n^{2}\hbar^{2}}{m r^{3}}=\frac{Z e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}.
Cancelando um r^{2} e resolvendo para r:
r_{n}=\frac{4\pi\varepsilon_{0}\hbar^{2}}{m e^{2}}\frac{n^{2}}{Z}.
Definindo o raio de Bohr do hidrogênio \displaystyle a_{0}=\frac{4\pi\varepsilon_{0}\hbar^{2}}{m e^{2}} (constante conhecida), obtemos
r_{n} = a_{0}\,\frac{n^{2}}{Z}.
Interpretação prática (resumo deste passo):
  • O raio da órbita cresce como n^{2} e diminui com Z.
  • Portanto o raio de Bohr do átomo hidrogenoide em estado fundamental ( n=1) é a(Z)=\frac{a_{0}}{Z}.

Passo 3

Agora vamos achar a energia total da órbita E_{n}. No modelo de Bohr:
  • Energia cinética do elétron: T=\dfrac{1}{2}m v^{2}.
  • Energia potencial coulombiana: U=-\dfrac{Z e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} r}.
  • Energia total: E=T+U.
Usamos a relação obtida da força centrípeta:
m v^{2}=\frac{Z e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} r}.
Logo a energia cinética é
T=\frac{1}{2}m v^{2}=\frac{Z e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0} r}.
Então a energia total é
E=T+U=\frac{Z e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0} r}-\frac{Z e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} r}=-\frac{Z e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0} r}.
Substituindo r=r_{n}=a_{0}\dfrac{n^{2}}{Z}:
E_{n}(Z)=-\frac{Z e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{Z}{a_{0} n^{2}} =-\frac{Z^{2} e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0} a_{0}}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
Agora lembrar que, para Z=1, essa expressão vale \,E_{n}(1)=-13{,}6\\ \mathrm{eV}\,\dfrac{1}{n^{2}}\,. Então podemos escrever diretamente a forma escalada:
E_{n}(Z)=Z^{2}E_{n}(1)= -13{,}6\\ \mathrm{eV}\,\frac{Z^{2}}{n^{2}}.
Também é útil a forma em constantes fundamentais (para saber de onde vem o número 13{,}6\\ \mathrm{eV}):
E_{n}(Z)=-\frac{m e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2}\hbar^{2}}\frac{Z^{2}}{n^{2}}.
Explicação de variáveis nessa fórmula final:
  • m: massa do elétron,
  • e: carga do elétron,
  • \varepsilon_{0}: permissividade do vácuo,
  • \hbar: constante de Planck reduzida,
  • Z: número de prótons no núcleo,
  • n: número quântico principal.

Passo 4

Energia de ligação (energia do estado fundamental, n=1):
Usando o resultado do passo anterior:
E_{1}(Z)=E_{n=1}(Z)=-13{,}6\\ \mathrm{eV}\,Z^{2}.
Observação física: o módulo da energia de ligação |E_{1}(Z)|=13{,}6\\ Z^{2}\\ \mathrm{eV} é a energia mínima necessária para ionizar o elétron (tirá-lo do nível n=1 até separação).

Passo 5

Raio de Bohr do átomo com carga Z:
Do passo 2 temos
a(Z)=r_{1}=a_{0}\frac{1^{2}}{Z}=\frac{a_{0}}{Z}.
Em termos numéricos:
a_{0}\approx 5{,}29\times10^{-11}\\ \mathrm{m}, \qquad a(Z)\approx\frac{5{,}29\times10^{-11}\\ \mathrm{m}}{Z}.
Isso deixa claro: núcleos mais carregados puxam o elétron mais para perto (raio menor).

Passo 6

Constante de Rydberg do átomo hidrogenoide R(Z).
A fórmula de Rydberg (em número de onda) para uma transição n_{i}\to n_{f} é
\frac{1}{\lambda}=R(Z)\left(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}\right).
Como as energias escalam com Z^{2}, a constante de Rydberg também escala:
R(Z)=Z^{2}R_{H},
onde R_{H} é a constante de Rydberg do hidrogênio ( Z=1):
R_{H}\approx 1{,}097373\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}.
Também existe a forma em constantes fundamentais:
R_{H}=\frac{m e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2}h^{3}c},
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R(Z)=\frac{m e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2}h^{3}c}\,Z^{2}.

Passo 7

Série de Lyman para Z=2 e Z=3.
Definição: Lyman = transições para n_{f}=1, com n_{i}=2,3,\dots. A fórmula para o comprimento de onda do ramos é
\frac{1}{\lambda}=R(Z)\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)\quad(n\ge2).
Dois comprimentos de referência úteis:
  • Lyman- \alpha ( n=2\to1): \displaystyle \frac{1}{\lambda_{\alpha}}=R(Z)\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)=R(Z)\frac{3}{4}.
  • Límite de Lyman (ionização de n=1, n\to\infty): \displaystyle \frac{1}{\lambda_{\mathrm{limit}}}=R(Z).
Como R(Z)=Z^{2}R_{H}, os comprimentos de onda escalam como 1/Z^{2} em relação ao hidrogênio. Usando valores conhecidos do hidrogênio:
  • Para o hidrogênio ( Z=1):
    • \lambda_{\alpha}(1)\approx 121{,}57\\ \mathrm{nm}.
    • \lambda_{\mathrm{limit}}(1)\approx 91{,}18\\ \mathrm{nm}.
Logo para Z=2 (He+):
  • \lambda_{\alpha}(2)=\dfrac{\lambda_{\alpha}(1)}{2^{2}}=\dfrac{121{,}57\\ \mathrm{nm}}{4}\approx 30{,}39\\ \mathrm{nm}.
  • \lambda_{\mathrm{limit}}(2)=\dfrac{91{,}18\\ \mathrm{nm}}{4}\approx 22{,}80\\ \mathrm{nm}.
Para Z=3 (Li2+):
  • \lambda_{\alpha}(3)=\dfrac{121{,}57\\ \mathrm{nm}}{9}\approx 13{,}51\\ \mathrm{nm}.
  • \lambda_{\mathrm{limit}}(3)=\dfrac{91{,}18\\ \mathrm{nm}}{9}\approx 10{,}13\\ \mathrm{nm}.
Classificação no espectro eletromagnético:
  • Faixa \sim 121{,}6 91{,}2\\ \mathrm{nm} (hidrogênio) é ultravioleta distante (far-UV).
  • Faixa 30{,}4 22{,}8\\ \mathrm{nm} ( Z=2) está no ultravioleta extremo (EUV).
  • Faixa 13{,}5 10{,}1\\ \mathrm{nm} ( Z=3) está no UV extremo / aproximação de raios-X brandos (soft X‑ray) — em geral classificada como extremo UV ou região limite EUV/soft X-ray.

Passo 8

Resumo pedagógico rápido (como usar isso numa prova):
  • Sempre que surgir um problema com átomo hidrogenoide, aplique a regra prática: todas as quantidades escala com Z de forma simples:
    • E_{n}(Z)=Z^{2}E_{n}(1).
    • a(Z)=a_{0}/Z.
    • R(Z)=Z^{2}R_{H}.
  • Para calcular qualquer comprimento de onda de transição use a fórmula de Rydberg com R(Z): \frac{1}{\lambda}=R(Z)\left(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}\right).
  • Dica prática: se a questão pede números, basta multiplicar/dividir pelos fatores Z^{2} ou 1/Z^{2} em relação ao hidrogênio.

Resposta

E_{n}(Z) = -13{,}6\\ \mathrm{eV}\,\dfrac{Z^{2}}{n^{2}} \quad (equivalente a \displaystyle E_{n}(Z)=-\dfrac{m e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2}\hbar^{2}}\dfrac{Z^{2}}{n^{2}})\newline
E_{1}(Z) = -13{,}6\\ \mathrm{eV}\,Z^{2}\newline
a(Z) = \dfrac{a_{0}}{Z} = \dfrac{4\pi\varepsilon_{0}\hbar^{2}}{m e^{2}}\cdot\dfrac{1}{Z}\approx \dfrac{5{,}29\times10^{-11}\\ \mathrm{m}}{Z}\newline
R(Z) = Z^{2}R_{H} \approx Z^{2}\,(1{,}097373\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1})\newline
Série de Lyman:\newline
Para Z=2 (He ^+): \lambda_{\alpha}\approx 30{,}39\\ \mathrm{nm}, limite \lambda_{\mathrm{limit}}\approx 22{,}80\\ \mathrm{nm} (região EUV).\newline
Para Z=3 (Li ^{2+}): \lambda_{\alpha}\approx 13{,}51\\ \mathrm{nm}, limite \lambda_{\mathrm{limit}}\approx 10{,}13\\ \mathrm{nm} (EUV / limite para soft X‑ray).

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