Calcule \langle r\rangle e \left\langle r^{2}\right\rangle para um elétron no estado fundamental do hidrogênio. Expresse sua resposta nos termos do raio de Bohr.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \langle r\rangle e \left\langle r^{2}\right\rangle para um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio e expressar as respostas em função do raio de Bohr a_{0}.
Informações relevantes que o enunciado dá (ou que precisamos usar):
  • Estado fundamental do hidrogênio é o orbital 1s, cuja função de onda espacial (em coordenadas esféricas) é
\psi_{100}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_{0}^{3}}}\,e^{-r/a_{0}}.
  • O raio de Bohr é denotado por a_{0}.
  • Precisamos calcular as médias \langle r\rangle e \langle r^{2}\rangle usando a definição usual de valor esperado em mecânica quântica.

Passo 2

Definição e preparação da integral (aula rápida do que é a média):
  • Para qualquer operador multiplicativo f(r) (aqui f(r)=r ou r^{2}), o valor esperado é
\langle f(r)\rangle=\int_{\text{todas as coordenadas}}\psi^{*} f(r)\psi\,dV.
  • Em coordenadas esféricas o elemento de volume é dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
  • Portanto
\langle r^{k}\rangle=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}|\psi_{100}(r,\theta,\varphi)|^{2}\,r^{k}\,r^{2}\sin\theta\,d\varphi\,d\theta\,dr.
  • Como |\psi_{100}| é independente de ângulos (orbital s), as integrais angulares dão simplesmente 4\pi. Logo a integral reduz-se à integral radial
\langle r^{k}\rangle = 4\pi\int_{0}^{\infty}|\psi_{100}(r)|^{2}\,r^{k+2}\,dr.
Isto é importante: a dependência angular desaparece para o estado 1s e sobra apenas uma integral unidimensional em r.

Passo 3

Escrever |\psi_{100}|^{2} e montar as expressões explícitas:
  • A densidade radial é
|\psi_{100}(r)|^{2}=\frac{1}{\pi a_{0}^{3}}\,e^{-2r/a_{0}}.
  • Substituindo em \langle r^{k}\rangle obtemos
\langle r^{k}\rangle = 4\pi\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\pi a_{0}^{3}}\,e^{-2r/a_{0}}\,r^{k+2}\,dr = \frac{4}{a_{0}^{3}}\int_{0}^{\infty} e^{-2r/a_{0}}\,r^{k+2}\,dr.

Passo 4

Ferramenta de integração (mini-aula sobre integrais tipo Gamma):
  • A integral que aparece é do tipo
\int_{0}^{\infty} r^{n} e^{-\alpha r}\,dr=\frac{n!}{\alpha^{\,n+1}}
para n inteiro não negativo (equivalente a \Gamma(n+1)/\alpha^{n+1}).
  • No nosso caso \alpha=2/a_{0} e n=k+2. Vamos aplicar isso para k=1 (para \langle r\rangle) e k=2 (para \langle r^{2}\rangle).

Passo 5

Cálculo de \langle r\rangle:
  • Para k=1 temos n=k+2=3. Usando a fórmula acima,
\int_{0}^{\infty} r^{3} e^{-(2/a_{0})r}\,dr=\frac{3!}{(2/a_{0})^{4}}=\frac{6}{(2/a_{0})^{4}}.
  • Portanto
\langle r\rangle = \frac{4}{a_{0}^{3}}\cdot\frac{6}{(2/a_{0})^{4}}.
  • Simplificando passo a passo:
(2/a_{0})^{4}=\frac{16}{a_{0}^{4}},
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\langle r\rangle = \frac{4}{a_{0}^{3}}\cdot\frac{6}{16/a_{0}^{4}} = \frac{4\cdot 6}{16}\cdot a_{0} = \frac{24}{16}\,a_{0}=\frac{3}{2}\,a_{0}.

Passo 6

Cálculo de \left\langle r^{2}\right\rangle:
  • Para k=2 temos n=k+2=4. Assim
\int_{0}^{\infty} r^{4} e^{-(2/a_{0})r}\,dr=\frac{4!}{(2/a_{0})^{5}}=\frac{24}{(2/a_{0})^{5}}.
  • Então
\left\langle r^{2}\right\rangle = \frac{4}{a_{0}^{3}}\cdot\frac{24}{(2/a_{0})^{5}}.
  • Simplificando:
(2/a_{0})^{5}=\frac{32}{a_{0}^{5}},
portanto
\left\langle r^{2}\right\rangle = \frac{4}{a_{0}^{3}}\cdot\frac{24}{32/a_{0}^{5}} = \frac{4\cdot 24}{32}\,a_{0}^{2} = \frac{96}{32}\,a_{0}^{2}=3\,a_{0}^{2}.

Passo 7

Resumo e pequeno comentário final (motivações para decorar):
  • Resultado prático: para o elétron no estado fundamental do hidrogênio vale \langle r\rangle=\tfrac{3}{2}a_{0} e \langle r^{2}\rangle=3a_{0}^{2}.
  • Dica para a prova: decorar a função de onda do 1s e a técnica de reduzir a integral às partes radiais usando 4\pi r^{2}; depois usar a fórmula de integrais tipo Gamma com \alpha=2/a_{0}. Isso resolve rapidamente esses tipos de médias.

Resposta

\langle r\rangle=\dfrac{3}{2}\,a_{0}
\left\langle r^{2}\right\rangle=3\,a_{0}^{2}

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