Calcule
e
para um elétron no estado fundamental do hidrogênio. Expresse sua resposta nos termos do raio de Bohr.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
e
para um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio e expressar as respostas em função do raio de Bohr
.
Informações relevantes que o enunciado dá (ou que precisamos usar):
- Estado fundamental do hidrogênio é o orbital
, cuja função de onda espacial (em coordenadas esféricas) é
- O raio de Bohr é denotado por
. - Precisamos calcular as médias
e usando a definição usual de valor esperado em mecânica quântica.
Passo 2
Definição e preparação da integral (aula rápida do que é a média):
- Para qualquer operador multiplicativo
(aqui ou ), o valor esperado é
- Em coordenadas esféricas o elemento de volume é
. - Portanto
- Como
é independente de ângulos (orbital ), as integrais angulares dão simplesmente . Logo a integral reduz-se à integral radial
Isto é importante: a dependência angular desaparece para o estado
e sobra apenas uma integral unidimensional em
.
Passo 3
Escrever
e montar as expressões explícitas:
- A densidade radial é
- Substituindo em
obtemos
Passo 4
Ferramenta de integração (mini-aula sobre integrais tipo Gamma):
- A integral que aparece é do tipo
para
inteiro não negativo (equivalente a
).
- No nosso caso
e . Vamos aplicar isso para (para ) e (para ).
Passo 5
Cálculo de
:
- Para
temos . Usando a fórmula acima,
- Portanto
- Simplificando passo a passo:
logo
Passo 6
Cálculo de
:
- Para
temos . Assim
- Então
- Simplificando:
portanto
Passo 7
Resumo e pequeno comentário final (motivações para decorar):
- Resultado prático: para o elétron no estado fundamental do hidrogênio vale
e . - Dica para a prova: decorar a função de onda do
e a técnica de reduzir a integral às partes radiais usando ; depois usar a fórmula de integrais tipo Gamma com . Isso resolve rapidamente esses tipos de médias.