Átomos de estanho (Sn) são introduzidos em um cristal de cobre com estrutura cúbica de face centrada (CFC), formando uma liga com parâmetro de rede de 3,7589 \times 10^{-8} \mathrm{~cm} e densidade de 8,772 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Calcule a porcentagem atômica de estanho presente na liga.

Passo 1

O enunciado descreve uma liga formada por átomos de estanho (Sn) e cobre (Cu) numa rede cúbica de faces centradas (CFC). Dá-se o parâmetro de rede \displaystyle a=3,7589\times10^{-8}\,\mathrm{cm} e a densidade da liga \displaystyle \rho=8,772\,\mathrm{g/cm^3}.
Conteúdo: cálculo de composição atômica a partir da densidade e da estrutura cristalina.
Precisamos de:
– Número de átomos por célula unitária em CFC: 4.
– Massa atômica de Cu \displaystyle M_{\rm Cu}=63,546\,\mathrm{g/mol} e de Sn \displaystyle M_{\rm Sn}=118,71\,\mathrm{g/mol}.
– Número de Avogadro \displaystyle N_A=6,022\times10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}.

Passo 2

Em uma célula unitária CFC temos 4 átomos, sendo fração x de Sn e 1-x de Cu. A massa da célula é
m_{\rm cel} = \frac{4\bigl(x\,M_{\rm Sn} + (1-x)\,M_{\rm Cu}\bigr)}{N_A}.
O volume da célula é
V_{\rm cel} = a^3.
Logo a densidade é
\rho = \frac{m_{\rm cel}}{V_{\rm cel}} = \frac{4\bigl(x\,M_{\rm Sn} + (1-x)\,M_{\rm Cu}\bigr)}{N_A\,a^3}.

Passo 3

Reescrevendo para isolar x, definimos
B = \frac{\rho\,N_A\,a^3}{4}.
Então
x\,M_{\rm Sn} + (1-x)\,M_{\rm Cu} = B \quad\Longrightarrow\quad x\,(M_{\rm Sn}-M_{\rm Cu}) = B - M_{\rm Cu}
e
x = \frac{B - M_{\rm Cu}}{M_{\rm Sn} - M_{\rm Cu}}.

Passo 4

Calculemos numericamente:
a^3 = \bigl(3,7589\times10^{-8}\bigr)^3 = 5,3111\times10^{-23}\,\mathrm{cm^3},
\rho\,N_A\,a^3 = 8,772\times6,022\times10^{23}\times5,3111\times10^{-23} \approx280,56\,\mathrm{g/mol},
B = \frac{280,56}{4} = 70,14\,\mathrm{g/mol}.
Como M_{\rm Cu}=63,546\,\mathrm{g/mol} e M_{\rm Sn}-M_{\rm Cu}=118,71-63,546=55,164\,\mathrm{g/mol}, temos
x = \frac{70,14 - 63,546}{55,164} \approx 0,1196.

Resposta

A porcentagem atômica de estanho na liga é aproximadamente 11,96\%, ou seja, cerca de 12,0 % Sn.

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