Através de algum método, determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sqrt{k}}{k^{3}+1}\,

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{k}}{k^{3}+1}
é convergente ou divergente. Informações relevantes dadas:
  • O termo geral é \displaystyle a_k=\frac{\sqrt{k}}{k^{3}+1}.
  • Para todo k\ge1 temos a_k>0 (portanto testes de comparação são aplicáveis).
  • Quer-se apenas a propriedade de convergência (soma finita) ou divergência (soma infinita).

Passo 2

Observar o comportamento para k grande: \sqrt{k}=k^{1/2} e k^{3}+1\sim k^{3}. Assim, para k grande o termo geral se comporta como
\frac{\sqrt{k}}{k^{3}+1}\sim\frac{k^{1/2}}{k^{3}}=k^{-5/2}.
Isto sugere comparar com a série \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{5/2}}, que é uma série p-série com p=\tfrac{5}{2}.

Passo 3

Explicar o teste da p-série (fundamental): a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Justificativa rápida (teste integral): considerar a função f(x)=x^{-p} para x\ge1. O \displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx vale
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{\infty},
que converge exatamente quando 1-p<0, i.e. p>1. Portanto, como aqui p=\tfrac{5}{2}>1, a série \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{5/2}} converge.

Passo 4

Usar o teste da comparação limite (limit comparison test). Definir
a_k=\frac{\sqrt{k}}{k^{3}+1},\qquad b_k=\frac{1}{k^{5/2}}.
Calcular o limite
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k} =\lim_{k\to\infty}\frac{\dfrac{k^{1/2}}{k^{3}+1}}{k^{-5/2}} =\lim_{k\to\infty}\frac{k^{1/2}\,k^{5/2}}{k^{3}+1} =\lim_{k\to\infty}\frac{k^{3}}{k^{3}+1}.
Como \dfrac{k^{3}}{k^{3}+1}\to 1 quando k\to\infty, obtemos L=1, que é um número finito e positivo. Pelo teste da comparação limite, as séries \sum a_k e \sum b_k têm o mesmo comportamento (ou convergem ambas, ou divergem ambas). Já vimos no passo anterior que \sum b_k converge; logo \sum a_k também converge.

Passo 5

(Aponto extra, método alternativo mais direto) Observação simples por comparação direta: para k\ge1 tem k^{3}+1\ge k^{3}, então
0<\frac{\sqrt{k}}{k^{3}+1}\le\frac{\sqrt{k}}{k^{3}}=k^{-5/2}.
Como \sum k^{-5/2} converge, pela comparação direta \sum \dfrac{\sqrt{k}}{k^{3}+1} converge também. Esta é uma maneira ainda mais direta de concluir.

Resposta

Convergente

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