Através de algum método, determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Informações relevantes dadas:
- O termo geral é
. - Para todo
temos (portanto testes de comparação são aplicáveis). - Quer-se apenas a propriedade de convergência (soma finita) ou divergência (soma infinita).
Passo 2
Observar o comportamento para
grande:
e
. Assim, para
grande o termo geral se comporta como
Isto sugere comparar com a série
, que é uma série
-série com
.
Passo 3
Explicar o teste da
-série (fundamental): a série
converge se, e somente se,
. Justificativa rápida (teste integral): considerar a função
para
. O
vale
que converge exatamente quando
, i.e.
. Portanto, como aqui
, a série
converge.
Passo 4
Usar o teste da comparação limite (limit comparison test). Definir
Calcular o limite
Como
quando
, obtemos
, que é um número finito e positivo. Pelo teste da comparação limite, as séries
e
têm o mesmo comportamento (ou convergem ambas, ou divergem ambas). Já vimos no passo anterior que
converge; logo
também converge.
Passo 5
(Aponto extra, método alternativo mais direto) Observação simples por comparação direta: para
tem
, então
Como
converge, pela comparação direta
converge também. Esta é uma maneira ainda mais direta de concluir.
Resposta
Convergente