Através de algum método, determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty}\left(2-e^{-k}\right)^{k}

Passo 1

Enunciado claro: avaliar se a série
\sum_{k=1}^{\infty}\left(2-e^{-k}\right)^{k}
é convergente ou divergente. Informação útil que já temos do enunciado:
  • O termo geral é a_k=\left(2-e^{-k}\right)^{k}.
  • Para todo k\ge 1 tem-se e^{-k}\le e^{-1}<1, portanto a base 2-e^{-k} está entre 2-e^{-1} e 2, isto é 2-e^{-1}\le 2-e^{-k}<2.
  • A série é de termos positivos (cada a_k>0).

Passo 2

Vamos lembrar dois testes úteis (explicados de forma didática):
  1. Teste do termo geral (ou teste da divergência): se o limite do termo geral não for zero,
\lim_{k\to\infty} a_k \neq 0,
então a série \sum a_k diverge. Ou seja, uma condição necessária à convergência é \lim_{k\to\infty} a_k=0.
  1. Teste da raiz n-ésima (root test): para a_k\ge0, definir
L=\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}.
Se L<1 a série converge; se L>1 a série diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui \sqrt[k]{a_k} é a k-ésima raiz de a_k.
Vou aplicar primeiro o teste do termo geral (é o mais direto) e depois mostro uma aplicação do teste da raiz como verificação alternativa.

Passo 3

Aplicando o teste do termo geral. Tome a_k=\left(2-e^{-k}\right)^{k}. Como observado no Passo 1, para todo k\ge1 vale
2-e^{-k}\ge 2-e^{-1}.
Defina a constante positiva
c:=2-e^{-1}.
Note que c>1 porque e^{-1}<1. Então, para todo k\ge1,
a_k=\left(2-e^{-k}\right)^{k}\ge c^{k}.
Agora, como c>1, a sequência c^{k} tende a +\infty quando k\to\infty. Portanto a_k\ge c^{k}\to+\infty, o que implica em particular que
\lim_{k\to\infty} a_k = +\infty\neq 0.
Pelo teste do termo geral, se o termo geral não tende a zero a série não pode convergir. Logo a série diverge.
Observação didática rápida sobre a desigualdade: foi usada a ideia simples de comparar a base por baixo por uma constante c>1; então elevando à potência k obtemos crescimento exponencial, o que impede o termo geral de tender a zero.

Passo 4

Verificação alternativa pelo teste da raiz (para aprender outra ferramenta). Calcule a k-ésima raiz do termo:
\sqrt[k]{a_k}=\sqrt[k]{\left(2-e^{-k}\right)^{k}}=2-e^{-k}.
Agora tome o limite:
\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}=\lim_{k\to\infty}\left(2-e^{-k}\right)=2.
Aqui o L do teste da raiz vale 2>1. Pelo teste da raiz, se L>1 a série diverge. Resultado consistente com o Passo 3.

Passo 5

Interpretação final e motivação intuitiva: a base 2-e^{-k} fica sempre maior que 1 e tende para 2 quando k cresce. Logo cada termo a_k cresce exponencialmente (aproxima-se de algo como 2^{k}), portanto não há como a soma infinita desses termos convergir — os termos não vão a zero, muito pelo contrário.

Resposta

A série diverge.

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