Através de algum método, determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Enunciado claro: avaliar se a série
é convergente ou divergente. Informação útil que já temos do enunciado:
- O termo geral é
. - Para todo
tem-se , portanto a base está entre e , isto é . - A série é de termos positivos (cada
).
Passo 2
Vamos lembrar dois testes úteis (explicados de forma didática):
- Teste do termo geral (ou teste da divergência): se o limite do termo geral não for zero,
então a série
diverge. Ou seja, uma condição necessária à convergência é
.
- Teste da raiz
-ésima (root test): para , definir
Se
a série converge; se
a série diverge; se
o teste é inconclusivo. Aqui
é a k-ésima raiz de
.
Vou aplicar primeiro o teste do termo geral (é o mais direto) e depois mostro uma aplicação do teste da raiz como verificação alternativa.
Passo 3
Aplicando o teste do termo geral. Tome
. Como observado no Passo 1, para todo
vale
Defina a constante positiva
Note que
porque
. Então, para todo
,
Agora, como
, a sequência
tende a
quando
. Portanto
, o que implica em particular que
Pelo teste do termo geral, se o termo geral não tende a zero a série não pode convergir. Logo a série diverge.
Observação didática rápida sobre a desigualdade: foi usada a ideia simples de comparar a base por baixo por uma constante
; então elevando à potência
obtemos crescimento exponencial, o que impede o termo geral de tender a zero.
Passo 4
Verificação alternativa pelo teste da raiz (para aprender outra ferramenta). Calcule a k-ésima raiz do termo:
Agora tome o limite:
Aqui o
do teste da raiz vale
. Pelo teste da raiz, se
a série diverge. Resultado consistente com o Passo 3.
Passo 5
Interpretação final e motivação intuitiva: a base
fica sempre maior que
e tende para
quando
cresce. Logo cada termo
cresce exponencialmente (aproxima-se de algo como
), portanto não há como a soma infinita desses termos convergir — os termos não vão a zero, muito pelo contrário.
Resposta
A série diverge.