3.2- Pode-se obter um campo vetorial tomando o gradiente de um campo escalar. Se \varphi= \mathrm{xy}+16 \mathrm{t}^{2}+\mathrm{yz}^{3} qual é o campo grad \varphi ? Qual é o módulo do vetor grad \varphi no ponto (0,3,2) quando \mathrm{t}=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o campo vetorial dado pelo gradiente de um campo escalar \varphi(x,y,z,t)=xy+16t^{2}+yz^{3}
e depois calcular o módulo desse vetor no ponto (x,y,z)=(0,3,2) quando t=0. O conteúdo é cálculo vetorial: derivadas parciais e definição de gradiente.

Passo 2

Para obter \nabla\varphi, lembramos que
\nabla\varphi =\Bigl(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\,\frac{\partial\varphi}{\partial y},\,\frac{\partial\varphi}{\partial z}\Bigr).
Como 16t^{2} não depende de x,y,z, ele some nas derivadas parciais. Assim,
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=y,\quad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=x+z^{3},\quad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=3\,y\,z^{2}.

Passo 3

Agora avaliamos \nabla\varphi em (x,y,z)=(0,3,2). Temos
\nabla\varphi(0,3,2) =\bigl(y,\;x+z^{3},\;3yz^{2}\bigr)\Big|_{(0,3,2)} =(3,\;0+2^{3},\;3\cdot3\cdot2^{2}) =(3,8,36).

Passo 4

Para o módulo do vetor usamos a fórmula
\|\nabla\varphi(0,3,2)\| =\sqrt{3^{2}+8^{2}+36^{2}} =\sqrt{9+64+1296} =\sqrt{1369} =37.

Resposta

O campo gradiente é
\nabla\varphi(x,y,z) =\bigl(y,\;x+z^{3},\;3yz^{2}\bigr)
e o módulo no ponto dado (com t=0) é 37.

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