1-Através do cálculo da densidade planar, justifique porque o plano (111) é o plano de escorregamento de uma estrutura CFC, enquanto o plano (110) não é. É necessário calcular a densidade planar para cada um desses planos.
Através do cálculo da densidade linear, justifique porque a direção [111] é a direção de escorregamento de uma estrutura CCC, enquanto a direção [110] não é.
É necessário calcular a densidade linear para cada uma dessas direções.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular a densidade planar do plano
e do plano para uma estrutura cúbica de faces centradas (CFC, ou FCC) e, a partir disso, justificar por que é plano de escorregamento e não é. - Calcular a densidade linear nas direções
e para uma estrutura cúbica de corpo centrado (CCC, ou BCC) e, a partir disso, justificar por que é direção de escorregamento e não é.
Informações e convenções que usarei (tudo dado / padrão para FCC e BCC):
- Usarei o parâmetro de rede da célula cúbica convencional denotado por
. - Em FCC, a distância entre vizinhos mais próximos é
(porque átomos tocam ao longo da diagonal da face). Assim, se for necessário ligar ao raio atômico , tem-se . - Em BCC, a distância entre vizinho mais próximo (canto ↔ centro do corpo) é
. Ligação a : . - Definições que vou usar:
- Densidade planar (PD): número de centros atômicos cuja posição está exatamente no plano considerado, dividido pela área de uma célula de repetição dentro desse plano. Em unidades: átomos por unidade de área.
- Densidade linear (LD): número de centros atômicos sobre uma linha na direção considerada por unidade de comprimento da repetição nessa direção. Em unidades: átomos por unidade de comprimento.
- Vou contar átomos levando em conta o compartilhamento (por exemplo, um átomo no canto é compartilhado por 8 células, um átomo no centro de face por 2, etc.) e calcular a área/ comprimento do elemento de repetição geométrico no interior da célula cúbica convencional.
Passo 2
Conceito e fórmula útil para planos densamente empacotados (FCC
):
- A projeção dos centros atômicos no plano
forma um reticulado triangular (rede hexagonal compacta 2D). Para uma rede triangular, a área ocupada por um ponto (um átomo) é
onde
é a distância entre vizinhos mais próximos no plano (o “lattice constant” 2D, que aqui é o mesmo que a distância entre vizinhos no reticulado 3D que projetamos).
- A densidade planar é então
Passo 3
Aplicando isso ao plano
de FCC:
- Em FCC, a distância entre vizinhos mais próximos é
- Substituindo em
:
- Interpretação: cada átomo “ocupa” área
e isso dá . Esse valor é relativamente alto — é o plano mais compactamente empacotado em FCC (o famoso plano densamente empacotado).
Passo 4
Cálculo explícito por contagem geométrica (verificação para
, método alternativo rápido):
- A interseção do plano
com a célula cúbica convencional é um triângulo equilátero com vértices em , e . O lado desse triângulo tem comprimento , então a área do triângulo é
- Essa região do plano contém efetivamente 2 átomos (contagem considerando frações dos centros que caem no triângulo), logo
confirmando o resultado anterior.
Passo 5
Agora o plano
em FCC: geometria do plano e área elementar
- O plano
é paralelo ao eixo (índice ), e dentro da célula cúbica a sua seção é um retângulo de lados: - um lado igual ao segmento entre
e , isto é comprimento ; - o outro lado é a altura do cubo
.
- um lado igual ao segmento entre
- Portanto a área do retângulo (interseção com a célula) é
Passo 6
Contagem de átomos cujo centro está no plano
para a célula FCC
- Os centros atômicos em FCC nas posições relevantes são:
- quatro cantos com coordenadas
que pertencem ao plano (esses quatro cantos estão sobre a área retangular). Cada canto contribui com (compartilhado por 8 células): total . - dois centros de face com coordenadas
e , ambos no plano . Cada centro de face é compartilhado por 2 células: total .
- quatro cantos com coordenadas
- Soma: número total de átomos por essa área retangular na célula convencional é
Passo 7
Densidade planar para
em FCC
- Agora calculamos
- Comparando numericamente as duas PD (ambas em unidades de
): -
. -
.
-
- Conclusão:
. Planos de escorregamento tendem a ser os mais densamente empacotados (menor energia de cisalhamento requerida), portanto é o plano de escorregamento do FCC; é menos denso e, por isso, não é o plano preferencial de escorregamento.
Passo 8
Agora: densidade linear (LD) - definição e método para BCC
- Definição: para uma direção cristalográfica dada
, escolhemos o menor segmento de rede que liga nós equivalentes (vetor de rede de repetição nessa direção) e contamos quantos centros atômicos têm suas posições exatamente sobre essa linha, levando em conta fracções por compartilhamento; então
- Para direções em uma célula cúbica, tomamos como comprimento de repetição o comprimento do vetor que vai de
até o nó equivalente mais próximo na mesma direção (por exemplo, para esse vetor é com comprimento ; para é com comprimento ).
Passo 9
Cálculo de
para
em BCC
- Segmento de repetição: de
até , comprimento . - Os centros atômicos que estão sobre esse segmento (entre esses dois pontos) são:
- os dois cantos nas extremidades
e , cada um compartilhado por 8 células → contribuição total dos dois cantos: . - o átomo do centro do corpo em
, que está exatamente no meio do segmento e pertence inteiramente à célula → contribuição .
- os dois cantos nas extremidades
- Soma de centros sobre o segmento:
. - Logo
Passo 10
Cálculo de
para
em BCC
- Segmento de repetição: de
até , comprimento . - Que centros atômicos estão exatamente nessa linha? Em BCC, os centros são somente cantos e o centro da célula; o centro do corpo
NÃO está na linha . Então, ao longo do segmento só aparecem os dois cantos das extremidades. - Cada canto contribui com
, portanto . - Assim
Passo 11
Comparação numérica e conclusão para BCC
- Valores (por
): -
. -
.
-
- Conclusão:
. Direções de escorregamento preferenciais são as mais densamente povoadas por átomos (maior linear density), porque há mais “cadeia contínua” de átomos para o movimento deslizante e, assim, menor resistência ao escorregamento. Portanto é a direção de escorregamento em BCC; não é a preferencial (tem densidade linear muito menor).