1-Através do cálculo da densidade planar, justifique porque o plano (111) é o plano de escorregamento de uma estrutura CFC, enquanto o plano (110) não é. É necessário calcular a densidade planar para cada um desses planos.
Através do cálculo da densidade linear, justifique porque a direção [111] é a direção de escorregamento de uma estrutura CCC, enquanto a direção [110] não é.
É necessário calcular a densidade linear para cada uma dessas direções.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a densidade planar do plano (111) e do plano (110) para uma estrutura cúbica de faces centradas (CFC, ou FCC) e, a partir disso, justificar por que (111) é plano de escorregamento e (110) não é.
  • Calcular a densidade linear nas direções [111] e [110] para uma estrutura cúbica de corpo centrado (CCC, ou BCC) e, a partir disso, justificar por que [111] é direção de escorregamento e [110] não é.
Informações e convenções que usarei (tudo dado / padrão para FCC e BCC):
  • Usarei o parâmetro de rede da célula cúbica convencional denotado por a.
  • Em FCC, a distância entre vizinhos mais próximos é d_{nn}=\dfrac{a}{\sqrt{2}} (porque átomos tocam ao longo da diagonal da face). Assim, se for necessário ligar a ao raio atômico R, tem-se a=2\sqrt{2}\,R.
  • Em BCC, a distância entre vizinho mais próximo (canto ↔ centro do corpo) é d_{nn}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a. Ligação a R: a=\dfrac{4R}{\sqrt{3}}.
  • Definições que vou usar:
    • Densidade planar (PD): número de centros atômicos cuja posição está exatamente no plano considerado, dividido pela área de uma célula de repetição dentro desse plano. Em unidades: átomos por unidade de área.
    • Densidade linear (LD): número de centros atômicos sobre uma linha na direção considerada por unidade de comprimento da repetição nessa direção. Em unidades: átomos por unidade de comprimento.
  • Vou contar átomos levando em conta o compartilhamento (por exemplo, um átomo no canto é compartilhado por 8 células, um átomo no centro de face por 2, etc.) e calcular a área/ comprimento do elemento de repetição geométrico no interior da célula cúbica convencional.

Passo 2

Conceito e fórmula útil para planos densamente empacotados (FCC (111)):
  • A projeção dos centros atômicos no plano (111) forma um reticulado triangular (rede hexagonal compacta 2D). Para uma rede triangular, a área ocupada por um ponto (um átomo) é
\text{área\_por\_átomo}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,s^{2},áá
onde s é a distância entre vizinhos mais próximos no plano (o “lattice constant” 2D, que aqui é o mesmo que a distância entre vizinhos no reticulado 3D que projetamos).
  • A densidade planar é então
\text{PD}=\frac{1}{\text{área\_por\_átomo}}=\frac{2}{\sqrt{3}\,s^{2}}.áá

Passo 3

Aplicando isso ao plano (111) de FCC:
  • Em FCC, a distância entre vizinhos mais próximos é
s=d_{nn}=\frac{a}{\sqrt{2}}.
  • Substituindo em \text{PD}:
\text{PD}_{(111)}=\frac{2}{\sqrt{3}\,\left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}} =\frac{2}{\sqrt{3}\,\dfrac{a^{2}}{2}} =\frac{4}{\sqrt{3}\,a^{2}}.
  • Interpretação: cada átomo “ocupa” área \dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2} e isso dá \text{PD}_{(111)}=\dfrac{4}{\sqrt{3}\,a^{2}}. Esse valor é relativamente alto — é o plano mais compactamente empacotado em FCC (o famoso plano densamente empacotado).

Passo 4

Cálculo explícito por contagem geométrica (verificação para (111), método alternativo rápido):
  • A interseção do plano (111) com a célula cúbica convencional é um triângulo equilátero com vértices em (a,0,0), (0,a,0) e (0,0,a). O lado desse triângulo tem comprimento a\sqrt{2}, então a área do triângulo é
A_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{4}(a\sqrt{2})^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,a^{2}.
  • Essa região do plano contém efetivamente 2 átomos (contagem considerando frações dos centros que caem no triângulo), logo
\text{PD}_{(111)}=\frac{2}{A_{\triangle}}=\frac{2}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}\,a^{2}},
confirmando o resultado anterior.

Passo 5

Agora o plano (110) em FCC: geometria do plano e área elementar
  • O plano (110) é paralelo ao eixo z (índice l=0), e dentro da célula cúbica a sua seção é um retângulo de lados:
    • um lado igual ao segmento entre (0,0,0) e (a,a,0), isto é comprimento a\sqrt{2};
    • o outro lado é a altura do cubo a.
  • Portanto a área do retângulo (interseção com a célula) é
A_{(110)} = a\cdot a\sqrt{2} = a^{2}\sqrt{2}.

Passo 6

Contagem de átomos cujo centro está no plano (110) para a célula FCC
  • Os centros atômicos em FCC nas posições relevantes são:
    • quatro cantos com coordenadas (a,0,0),(0,a,0),(a,0,a),(0,a,a) que pertencem ao plano x+y=a (esses quatro cantos estão sobre a área retangular). Cada canto contribui com 1/8 (compartilhado por 8 células): total 4\times \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}.
    • dois centros de face com coordenadas (\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},0) e (\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},a), ambos no plano x+y=a. Cada centro de face é compartilhado por 2 células: total 2\times \dfrac{1}{2}=1.
  • Soma: número total de átomos por essa área retangular na célula convencional é
N_{(110)}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}.

Passo 7

Densidade planar para (110) em FCC
  • Agora calculamos
\text{PD}_{(110)}=\frac{N_{(110)}}{A_{(110)}}=\frac{\dfrac{3}{2}}{a^{2}\sqrt{2}} =\frac{3}{2\sqrt{2}\,a^{2}}.
  • Comparando numericamente as duas PD (ambas em unidades de 1/a^{2}):
    • \text{PD}_{(111)}=\dfrac{4}{\sqrt{3}\,a^{2}}\approx \dfrac{4}{1{,}732\,a^{2}}\approx \dfrac{2{,}309}{a^{2}}.
    • \text{PD}_{(110)}=\dfrac{3}{2\sqrt{2}\,a^{2}}\approx \dfrac{3}{2{,}828\,a^{2}}\approx \dfrac{1{,}061}{a^{2}}.
  • Conclusão: \text{PD}_{(111)}>\text{PD}_{(110)}. Planos de escorregamento tendem a ser os mais densamente empacotados (menor energia de cisalhamento requerida), portanto (111) é o plano de escorregamento do FCC; (110) é menos denso e, por isso, não é o plano preferencial de escorregamento.

Passo 8

Agora: densidade linear (LD) - definição e método para BCC
  • Definição: para uma direção cristalográfica dada [u v w], escolhemos o menor segmento de rede que liga nós equivalentes (vetor de rede \mathbf{t} de repetição nessa direção) e contamos quantos centros atômicos têm suas posições exatamente sobre essa linha, levando em conta fracções por compartilhamento; então
\text{LD}=\frac{\text{número de centros atômicos na linha dentro do segmento de repetição}}{\text{comprimento do segmento de repetição}}.úôçãçã
  • Para direções em uma célula cúbica, tomamos como comprimento de repetição o comprimento do vetor que vai de (0,0,0) até o nó equivalente mais próximo na mesma direção (por exemplo, para [111] esse vetor é (a,a,a) com comprimento a\sqrt{3}; para [110] é (a,a,0) com comprimento a\sqrt{2}).

Passo 9

Cálculo de \text{LD} para [111] em BCC
  • Segmento de repetição: de (0,0,0) até (a,a,a), comprimento L_{111}=a\sqrt{3}.
  • Os centros atômicos que estão sobre esse segmento (entre esses dois pontos) são:
    • os dois cantos nas extremidades (0,0,0) e (a,a,a), cada um compartilhado por 8 células → contribuição total dos dois cantos: 2\times\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}.
    • o átomo do centro do corpo em (\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}), que está exatamente no meio do segmento e pertence inteiramente à célula → contribuição 1.
  • Soma de centros sobre o segmento: N_{[111]}=1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}.
  • Logo
\text{LD}_{[111]}=\frac{N_{[111]}}{L_{111}}=\frac{\dfrac{5}{4}}{a\sqrt{3}}=\frac{5}{4\sqrt{3}\,a}.

Passo 10

Cálculo de \text{LD} para [110] em BCC
  • Segmento de repetição: de (0,0,0) até (a,a,0), comprimento L_{110}=a\sqrt{2}.
  • Que centros atômicos estão exatamente nessa linha? Em BCC, os centros são somente cantos e o centro da célula; o centro do corpo (\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}) NÃO está na linha z=0. Então, ao longo do segmento (0,0,0)\to(a,a,0) só aparecem os dois cantos das extremidades.
  • Cada canto contribui com 1/8, portanto N_{[110]}=2\times \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}.
  • Assim
\text{LD}_{[110]}=\frac{N_{[110]}}{L_{110}}=\frac{\dfrac{1}{4}}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{4\sqrt{2}\,a}.

Passo 11

Comparação numérica e conclusão para BCC
  • Valores (por 1/a):
    • \text{LD}_{[111]}=\dfrac{5}{4\sqrt{3}\,a}\approx \dfrac{0{,}7217}{a}.
    • \text{LD}_{[110]}=\dfrac{1}{4\sqrt{2}\,a}\approx \dfrac{0{,}1768}{a}.
  • Conclusão: \text{LD}_{[111]}\gg \text{LD}_{[110]}. Direções de escorregamento preferenciais são as mais densamente povoadas por átomos (maior linear density), porque há mais “cadeia contínua” de átomos para o movimento deslizante e, assim, menor resistência ao escorregamento. Portanto [111] é a direção de escorregamento em BCC; [110] não é a preferencial (tem densidade linear muito menor).

Resposta

\text{PD}_{(111)}=\dfrac{4}{\sqrt{3}\,a^{2}} e \text{PD}_{(110)}=\dfrac{3}{2\sqrt{2}\,a^{2}}. Portanto (111) é mais densamente empacotado que (110) e é o plano de escorregamento do CFC.
\text{LD}_{[111]}=\dfrac{5}{4\sqrt{3}\,a} e \text{LD}_{[110]}=\dfrac{1}{4\sqrt{2}\,a}. Portanto [111] tem densidade linear muito maior que [110] e é a direção de escorregamento do CCC.

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