(a) Calcule o número de elétrons livres por metro cúbico para a prata, assumindo que há 1,3 elétrons livres por átomo de prata. A condutividade elétrica e a densidade da Ag são, respectivamente, 6,8 \times 10^{7}(\Omega \cdot \mathrm{~m})^{-1} e 10,5 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. (b) Agora, calcule a mobilidade eletrônica da Ag.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular o número de elétrons livres por metro cúbico para a prata, supondo que há 1,3 elétrons livres por átomo de prata. Foram fornecidos a condutividade elétrica \sigma = 6,8\times 10^{7}\,\mathrm{(\Omega\cdot m)^{-1}} e a densidade da prata \rho = 10,5\,\mathrm{g/cm^{3}}.
  • (b) Calcular a mobilidade eletrônica \mu da prata, usando a condutividade dada.
Informações relevantes que vamos usar (algumas vêm do enunciado, outras são constantes físicas padrão):
  • elétrons por átomo: z = 1,3 (do enunciado);
  • condutividade: \sigma = 6,8\times 10^{7}\,\mathrm{(\Omega\cdot m)^{-1}} (do enunciado);
  • densidade da prata: \rho = 10,5\,\mathrm{g/cm^{3}} = 10500\,\mathrm{kg/m^{3}} (conversão necessária);
  • massa molar da prata (valor padrão): M = 107{,}87\,\mathrm{g/mol} = 0{,}10787\,\mathrm{kg/mol};
  • número de Avogadro: N_A = 6{,}022\times 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}};
  • carga elementar: e = 1{,}602\times 10^{-19}\,\mathrm{C}.
No Passo 2 começamos os cálculos. Vou mostrar cada fórmula, explicar cada variável e desenvolver as contas com cuidado.

Passo 2

Queremos primeiro o número de átomos por metro cúbico. Raciocínio físico: a massa por volume dividida pela massa de uma mole dá o número de mols por volume; multiplicando por N_A obtemos o número de átomos por volume. A fórmula é:
\text{átomos por m}^3 = \frac{\rho}{M}\,N_Aá
onde
  • \rho é a densidade em \mathrm{kg/m^3},
  • M é a massa molar em \mathrm{kg/mol},
  • N_A é o número de Avogadro.
Agora faço a conversão e substituição:
\rho = 10{,}5\,\mathrm{g/cm^{3}} = 10{,}5\times 10^{3}\,\mathrm{kg/m^{3}} = 10500\,\mathrm{kg/m^{3}}.
M = 107{,}87\,\mathrm{g/mol} = 0{,}10787\,\mathrm{kg/mol}.
Então
\text{átomos por m}^3 = \frac{10500}{0{,}10787}\times 6{,}022\times 10^{23}.á

Passo 3

Faço a conta em dois passos para ficar claro e verificável.
  1. Mols por metro cúbico:
\frac{\rho}{M} = \frac{10500}{0{,}10787}\\ \mathrm{mol/m^{3}} \approx 9{,}7344\times 10^{4}\\ \mathrm{mol/m^{3}}.
Explicação: dividi a densidade pela massa molar; resultado em \mathrm{mol/m^3}.
  1. Átomos por metro cúbico:
\text{átomos/m}^3 = 9{,}7344\times 10^{4}\times 6{,}022\times 10^{23} \approx 5{,}8643\times 10^{28}\\ \mathrm{átomos/m^{3}}.áá
Explicação: multiplica-se os mols por N_A para obter átomos.

Passo 4

Agora convertemos átomos para elétrons livres usando que há z=1{,}3 elétrons por átomo. A relação é:
n = z \times (\text{átomos/m}^3),á
onde n é o número de elétrons livres por metro cúbico.
Substituindo:
n = 1{,}3 \times 5{,}8643\times 10^{28} \approx 7{,}6236\times 10^{28}\\ \mathrm{elétrons/m^{3}}.é
Interpretação: esse é o número de portadores de carga livres por unidade de volume que vamos usar na parte (b).

Passo 5

Agora vamos calcular a mobilidade \mu. A relação básica que liga condutividade elétrica \sigma, densidade de portadores n, carga elementar e e mobilidade \mu é
\sigma = n e \mu.
Explicação das variáveis:
  • \sigma é a condutividade elétrica em \mathrm{(\Omega\cdot m)^{-1}},
  • n é o número de portadores por metro cúbico (aqui elétrons livres),
  • e é a carga de cada elétron em coulombs,
  • \mu é a mobilidade em \mathrm{m^{2}/(V\cdot s)}.
Isolando \mu:
\mu = \frac{\sigma}{n e}.

Passo 6

Substituo os valores numéricos (usando n calculado no Passo 4 e e=1{,}602\times 10^{-19}\,\mathrm{C}, \sigma=6{,}8\times 10^{7}\,\mathrm{(\Omega\cdot m)^{-1}}):
n e = 7{,}6236\times 10^{28}\times 1{,}602\times 10^{-19} \approx 1{,}2214\times 10^{10}\\ \mathrm{C/m^{3}}.
Então
\mu = \frac{6{,}8\times 10^{7}}{1{,}2214\times 10^{10}}\\ \mathrm{m^{2}/(V\cdot s)} \approx 5{,}57\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}/(V\cdot s)}.
Para uma unidade mais comum em semicondutores/metais, converto para \mathrm{cm^{2}/(V\cdot s)}:
1\\ \mathrm{m^{2}/(V\cdot s)} = 10^{4}\\ \mathrm{cm^{2}/(V\cdot s)},
logo
\mu \approx 5{,}57\times 10^{-3}\times 10^{4} \approx 55{,}7\\ \mathrm{cm^{2}/(V\cdot s)}.

Passo 7

Resumo de verificações e arredondamentos razoáveis:
  • Número de elétrons por m³ arredondado com três algarismos significativos: n \approx 7{,}62\times 10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  • Mobilidade com três algarismos significativos: \mu \approx 5{,}57\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}/(V\cdot s)} ( \approx 55{,}7\\ \mathrm{cm^{2}/(V\cdot s)}).

Resposta

(a) n \approx 7{,}62\times 10^{28}\\ \mathrm{elétrons/m^{3}}é
(b) \mu \approx 5{,}57\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}/(V\cdot s)} \;(\approx 55{,}7\\ \mathrm{cm^{2}/(V\cdot s)})

Exercícios relacionados