Através dos dados abaixo obtidos para o \mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{7} \mathrm{COOH} (ácido butírico), calcule o valor do Ka e do \Lambda_{\mathrm{m}}^{0} pelo método gráfico.
\mathrm{C}(\mathrm{mol} / \mathrm{L}) 0,0005 0,0010 0,0050 0,0100 0,0200 0,0500
\kappa 10^{5}\left(\mathrm{~S} / \mathrm{cm}^{-1}\right) 4,10 6,05 14,24 20,49 29,35 47,20

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.
  • Pede: calcular o valor de K_a e de \Lambda_{\mathrm{m}}^{0} (condutância molar limite) pelo método gráfico, usando os dados experimentais.
  • Dados (tabela dada):
    • Concentrações C (em mol/L): 0{,}0005,\;0{,}0010,\;0{,}0050,\;0{,}0100,\;0{,}0200,\;0{,}0500.
    • Condutividades específicas \kappa fornecidas na forma \kappa\cdot 10^{5} (S/cm): 4{,}10,\;6{,}05,\;14{,}24,\;20{,}49,\;29{,}35,\;47{,}20.
      • Isto significa que o valor real de \kappa para cada ponto é \kappa = (\text{número dado})\times 10^{-5}ú S/cm.
  • Objetivo prático: transformar os dados em condutâncias molares \Lambda_{\mathrm{m}}, montar a relação linear adequada para eletrólitos fracos, ajustar uma reta (método gráfico / regressão) e extrair \Lambda_{\mathrm{m}}^{0} e K_a.

Passo 2

Teoria necessária — relações usadas e dedução da forma linear a ser plotada (aqui eu explico bem devagar).
  • Definição de condutância molar:
    \Lambda_{\mathrm{m}}=\frac{1000\,\kappa}{c},
    onde \kappa está em S/cm, c em mol/L e \Lambda_{\mathrm{m}} fica em S·cm{2}·mol{-1}. A constante 1000 aparece por causa da conversão entre L e cm^{3}.
  • Para um ácido fraco, a fração dissociada é \alpha=\dfrac{\Lambda_{\mathrm{m}}}{\Lambda_{\mathrm{m}}^{0}}, onde \Lambda_{\mathrm{m}}^{0} é a condutância molar limite (infinitamente diluído).
  • Constante de acidez em termos de \alpha:
    K_a=\frac{\alpha^{2}c}{1-\alpha}.
  • Substituindo \alpha=\dfrac{\Lambda_{\mathrm{m}}}{\Lambda_{\mathrm{m}}^{0}} na expressão de K_a e rearranjando:
    K_a\,\Lambda_{\mathrm{m}}^{0}\bigl(\Lambda_{\mathrm{m}}^{0}-\Lambda_{\mathrm{m}}\bigr)=c\,\Lambda_{\mathrm{m}}^{2}.
    Expandindo:
    c\,\Lambda_{\mathrm{m}}^{2} = K_a\bigl(\Lambda_{\mathrm{m}}^{0}\bigr)^{2} - K_a\Lambda_{\mathrm{m}}^{0}\,\Lambda_{\mathrm{m}}.
  • Esta é uma equação linear em \Lambda_{\mathrm{m}} se definirmos:
    y \equiv c\,\Lambda_{\mathrm{m}}^{2},\qquad x \equiv \Lambda_{\mathrm{m}}.
    Então
    y = -\bigl(K_a\Lambda_{\mathrm{m}}^{0}\bigr)\,x + \bigl(K_a\bigl(\Lambda_{\mathrm{m}}^{0}\bigr)^{2}\bigr).
    Ou seja, uma reta y = m x + b com
    m = -K_a\Lambda_{\mathrm{m}}^{0},\qquad b = K_a\bigl(\Lambda_{\mathrm{m}}^{0}\bigr)^{2}.
  • Como extrair \Lambda_{\mathrm{m}}^{0} e K_a a partir de m e b:
    \Lambda_{\mathrm{m}}^{0} = -\frac{b}{m}, \qquad K_a = \frac{m^{2}}{b}.
    Explicação rápida do porquê: dividindo b por m cancela K_a e deixa -\Lambda_{\mathrm{m}}^{0}; e isolando K_a a partir de m=-K_a\Lambda_{\mathrm{m}}^{0} e substituindo \Lambda_{\mathrm{m}}^{0} K_a=m^{2}/b. As duas fórmulas dão valores positivos (pois m<0 e b>0).

Passo 3

Calcular \Lambda_{\mathrm{m}} para cada ponto (conversões explícitas e tabela com conta).
  • Conversão de \kappa: os números da tabela são \kappa\cdot 10^{5}, portanto
    \kappa = (\text{número da tabela})\times 10^{-5}\\ \text{S/cm}.ú
  • Fórmula usada:
    \Lambda_{\mathrm{m}}=\frac{1000\,\kappa}{c}.
  • Cálculos ponto a ponto (apresento os resultados já arredondados razoavelmente):
    • Para c=0{,}0005 mol/L e \kappa=4{,}10\times 10^{-5} S/cm: \Lambda_{\mathrm{m}}=\frac{1000\times 4{,}10\times 10^{-5}}{0{,}0005}= \frac{0{,}041}{0{,}0005}=82{,}00\\ \text{S·cm}^{2}\text{·mol}^{-1}.
    • Para c=0{,}0010, \kappa=6{,}05\times 10^{-5}: \Lambda_{\mathrm{m}}=\frac{0{,}0605}{0{,}0010}=60{,}50\\ \text{S·cm}^{2}\text{·mol}^{-1}.
    • Para c=0{,}0050, \kappa=14{,}24\times 10^{-5}: \Lambda_{\mathrm{m}}=\frac{0{,}1424}{0{,}0050}=28{,}48\\ \text{S·cm}^{2}\text{·mol}^{-1}.
    • Para c=0{,}0100, \kappa=20{,}49\times 10^{-5}: \Lambda_{\mathrm{m}}=\frac{0{,}2049}{0{,}0100}=20{,}49\\ \text{S·cm}^{2}\text{·mol}^{-1}.
    • Para c=0{,}0200, \kappa=29{,}35\times 10^{-5}: \Lambda_{\mathrm{m}}=\frac{0{,}2935}{0{,}0200}=14{,}675\\ \text{S·cm}^{2}\text{·mol}^{-1}.
    • Para c=0{,}0500, \kappa=47{,}20\times 10^{-5}: \Lambda_{\mathrm{m}}=\frac{0{,}4720}{0{,}0500}=9{,}44\\ \text{S·cm}^{2}\text{·mol}^{-1}.

Passo 4

Calcular y=c\,\Lambda_{\mathrm{m}}^{2} para cada ponto (que é o y da reta) — mostro as contas.
  • Uso \Lambda_{\mathrm{m}} do passo anterior e c da tabela.
  • Resultados:
    • c=0{,}0005,\\ \Lambda_{\mathrm{m}}=82{,}00: y=0{,}0005\times 82{,}00^{2}=0{,}0005\times 6724=3{,}362.
    • c=0{,}0010,\\ \Lambda_{\mathrm{m}}=60{,}50: y=0{,}0010\times 60{,}50^{2}=0{,}0010\times 3660{,}25=3{,}66025.
    • c=0{,}0050,\\ \Lambda_{\mathrm{m}}=28{,}48: y=0{,}0050\times 28{,}48^{2}=0{,}0050\times 811{,}1104=4{,}055552.
    • c=0{,}0100,\\ \Lambda_{\mathrm{m}}=20{,}49: y=0{,}0100\times 20{,}49^{2}=0{,}0100\times 419{,}8801=4{,}198801.
    • c=0{,}0200,\\ \Lambda_{\mathrm{m}}=14{,}675: y=0{,}0200\times 14{,}675^{2}=0{,}0200\times 215{,}355625=4{,}3071125.
    • c=0{,}0500,\\ \Lambda_{\mathrm{m}}=9{,}44: y=0{,}0500\times 9{,}44^{2}=0{,}0500\times 89{,}1536=4{,}45768.
  • Agora temos os pontos (x,y)=(\Lambda_{\mathrm{m}},\;c\Lambda_{\mathrm{m}}^{2}) prontos para ajuste linear:
    • (82{,}00,\;3{,}362), (60{,}50,\;3{,}66025), (28{,}48,\;4{,}055552), (20{,}49,\;4{,}198801), (14{,}675,\;4{,}3071125), (9{,}44,\;4{,}45768).

Passo 5

Ajuste linear (método gráfico / regressão por mínimos quadrados) para obter m e b.
  • Fórmulas da regressão (reta y=mx+b):
    m=\frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2} - (\sum x)^{2}},\qquad b=\frac{\sum y - m\sum x}{n},
    com n=6.
  • Cálculos (mostro as somas usadas; os valores foram obtidos a partir dos pontos calculados):
    \begin{aligned} \sum x &=215{,}585,\\\ \sum y &=24{,}0413955,\\\ \sum x^{2} &=11\,919{,}749725,\\\ \sum xy &=803{,}95206559. \end{aligned}
  • Aplicando as fórmulas:
    m=\frac{6\cdot 803{,}95206559 - 215{,}585\cdot 24{,}0413955}{6\cdot 11\,919{,}749725 - 215{,}585^{2}} \approx -0{,}0143528.
b=\frac{24{,}0413955 - (-0{,}0143528)\cdot 215{,}585}{6} \approx 4{,}52261425.
(os valores foram arredondados razoavelmente; m é negativo como esperado e b positivo).

Passo 6

Extrair \Lambda_{\mathrm{m}}^{0} e K_a a partir de m e b.
  • Usando as fórmulas deduzidas no passo 2:
    \Lambda_{\mathrm{m}}^{0} = -\frac{b}{m}, \qquad K_a = \frac{m^{2}}{b}.
  • Substituindo os números:
    \Lambda_{\mathrm{m}}^{0} = -\frac{4{,}52261425}{-0{,}0143528} \approx 315{,}2\\ \text{S·cm}^{2}\text{·mol}^{-1}.
K_a = \frac{(-0{,}0143528)^{2}}{4{,}52261425} \approx 4{,}56\times 10^{-5}.
  • (Opcional, para intuir a acidez) o pK_a correspondente seria pK_a = -\log_{10}(K_a)\approx -\log_{10}(4{,}56\times 10^{-5})\approx 4{,}34.

Resposta

K_a \approx 4{,}56\times 10^{-5}\n \Lambda_{\mathrm{m}}^{0}\approx 315{,}2\\ \text{S·cm}^{2}\text{·mol}^{-1}

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