Uma célula de condutância consiste em dois eletrodos, cada um com área de 4,2 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}, separados por 0,020 \mathrm{~m}. A resistência da célula quando preenchida com uma solução de \mathrm{KNO}_{3} 6,3 \times 10^{-4} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} é igual a 26,7 \Omega. Qual é a condutividade molar da solução?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo com cuidado):
A = 4{,}2\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}\quad(\text{área de cada eletrodo}),á
\ell = 0{,}020\\ \mathrm{m}\quad(\text{separação entre eletrodos}),çã
R = 26{,}7\\ \Omega\quad(\text{resistência medida da cela}),ê
c = 6{,}3\times 10^{-4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}\quad(\text{concentração da solução}).çãçã
O que o problema pede: a condutividade molar da solução (ou seja, a condutividade molar \Lambda_{m}).

Passo 2

Entendendo as grandezas e a fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A condutividade elétrica da solução é representada por \kappa (kappa). Ela mede quão bem a solução conduz corrente elétrica e tem unidades SI \mathrm{S\;m^{-1}}.
  • A condutância G (recíproco da resistência) é G = 1/R e tem unidades \mathrm{S}.
  • Para uma cela de eletrodos em placas paralelas (aproximação adequada aqui), a condutância está relacionada com \kappa por
G = \frac{\kappa A}{\ell},
onde A é a área efetiva das placas e \ell é a distância entre elas. Nesta fórmula: G aumenta se a área A é maior (mais caminho para a corrente) e diminui se a distância \ell é maior.
  • Da relação acima podemos isolar \kappa:
\kappa = \frac{G\,\ell}{A} = \frac{\ell}{R\,A}.
Vou usar essa expressão para obter \kappa.

Passo 3

Cálculo da condutividade \kappa passo a passo:
Primeiro calcular R\,A:
R\,A = 26{,}7\\ \Omega \times 4{,}2\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
Multiplicando:
26{,}7\times 4{,}2\times 10^{-4} = 0{,}011214\\ \Omega\cdot\mathrm{m^{2}}.
Agora usar \kappa = \dfrac{\ell}{R\,A}:
\kappa = \frac{0{,}020\\ \mathrm{m}}{0{,}011214\\ \Omega\cdot\mathrm{m^{2}}} = 1{,}783\\ \mathrm{S\;m^{-1}}.
(Verificação mental: G=1/R\approx 0{,}03745\\ \mathrm{S}; G\ell/A\approx 0{,}03745\times0{,}020/4{,}2\times10^{-4}\approx1{,}78\\ \mathrm{S\;m^{-1}}, mesmo resultado.)

Passo 4

Definição de condutividade molar e conversão de unidades (explicação didática):
  • A condutividade molar \Lambda_{m} é definida como a condutividade \kappa dividida pela concentração molar em unidades SI (mol por metro cúbico):
\Lambda_{m}=\frac{\kappa}{c_{\text{SI}}}.
  • O valor de c foi dado em \mathrm{mol\;L^{-1}}. Para usar na fórmula em SI precisamos converter para \mathrm{mol\;m^{-3}}. A relação é
1\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} = 1000\\ \mathrm{mol\;m^{-3}}.
Assim,
c_{\text{SI}} = 6{,}3\times 10^{-4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}\times 1000 = 0{,}63\\ \mathrm{mol\;m^{-3}}.

Passo 5

Cálculo final da condutividade molar \Lambda_{m}:
\Lambda_{m}=\frac{\kappa}{c_{\text{SI}}}=\frac{1{,}783\\ \mathrm{S\;m^{-1}}}{0{,}63\\ \mathrm{mol\;m^{-3}}} =2{,}83\\ \mathrm{S\;m^{2}\;mol^{-1}}.
Comentário rápido: a unidade \mathrm{S\;m^{2}\;mol^{-1}} é a unidade SI para condutividade molar. (Se você preferir em \mathrm{S\;cm^{2}\;mol^{-1}}, multiplica por 10^{4}: isso daria 2{,}83\times 10^{4}\\ \mathrm{S\;cm^{2}\;mol^{-1}}.)

Resposta

2{,}83\\ \mathrm{S\;m^{2}\;mol^{-1}}

Exercícios relacionados