Através do método de variação dos parâmetros, determine a solução geral de
y^prime prime+2 y^prime+y=25 sen(2 t), com y1(t)=e^-t e y2(t)=t e^-t.
Obs.: Nas questões 8, 9 e 10, defina intervalo (contínuo) das funções y1(t) e y2(t) e, antes de utilizar, verifique se são soluções da ED nesse intervalo.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear não--homogênea de segunda ordem
y''+2y'+y=25sen(2t)
usando o método de variação de parâmetros. As soluções fundamentais da homogênea são
y1(t)=e^-t, y2(t)=t,e^-t
Vamos determinar uma solução particular yp por variação de parâmetros e somar à solução geral da homogênea.

Passo 2

Escolhemos o intervalo (-infty,infty) em que y1 e y2 são contínuas e suas derivadas existem. Verificamos rapidamente que elas satisfazem
y''+2y'+y=0
pela forma da equação característica (r+1)^2=0, de modo que estão corretas.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano
W(t)= y1 & y2 y1'&y2' = e^-t & t,e^-t -,e^-t & e^-t(1-t) =e^-2t(1-t+t)=e^-2tneq0

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, definimos
u1'=-y2,g(t)W, u2'=y1,g(t)W,
onde g(t)=25sen(2t). Assim
u1'=-t,e^-tcdot25sen(2t)e^-2t =-25,t,e^tsen(2t), u2'=e^-tcdot25sen(2t)e^-2t =25,e^tsen(2t)

Passo 5

Integramos para obter e :
. Primeiro
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. Depois
Usando partes e as integrais de e , encontra--se
logo

Passo 6

A solução particular é
yp=u1,y1+u2,y2 =e^-tu1+t,e^-tu2
Substituindo u1 e u2 obtemos
yp=3sen(2t)+4cos(2t)
Portanto, a solução geral é
y(t)=C1,e^-t+C2,t,e^-t+3sen(2t)+4cos(2t)

Resposta

y(t)=C1e^-t+C2t,e^-t+3sen(2t)+4cos(2t)

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